MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 133

Wszystkie moduły są wielokrotnościami jednego wyrażenia. a) $\frac9{20}|2x-3|=9$, więc $|2x-3|=20$. b) $\frac{41}{10}|3x-1|=41$, więc $|3x-1|=10$. c) Obie strony są równe $\frac32|2x-1|$, więc równość jest tożsamościowa.

Mamy $f(x)=\frac3{10}|x-4|-6$. Miejsca zerowe to $-16$ i $24$, zaś $f(0)=-\frac{24}{5}$. Trójkąt ma podstawę $40$ i wysokość $\frac{24}{5}$.

Po podniesieniu stron do kwadratu otrzymujemy kolejno $|x|=25$, $|x-2|=9$, $|4x-1|=81$ oraz $|x|+5=49$.

Ze skanu wynika $f(x)=\frac{2|4-x|+7}{3}$; superskrypt w OCR jest błędny. Dziedzina to $(5;11)$, więc $|4-x|=x-4\in(1;7)$. Funkcja jest liniowa i rosnąca, a wartości graniczne $3$ i $7$ nie są osiągane.

a) Warunek daje $x\in(-3;1)\cup(5;9)$; na obu częściach wyrażenie upraszcza się do $2x-6$.

b) Dla $x\in\langle3;13\rangle$ mamy $|6x-18|=6x-18$, $\frac{|x-14|}{x-14}=-1$ i $|2-x|=x-2$.

c) Dla $x\in(6;10)$ pierwszy iloraz wynosi $-2$, a połowa różnicy modułów $-1$.

Po pomnożeniu przez $\sqrt6$ dostajemy $|x-6\sqrt2|<2\sqrt3$, czyli $6\sqrt2-2\sqrt3<x<6\sqrt2+2\sqrt3$. Krańce są w przybliżeniu równe $5{,}02$ i $11{,}95$.

Pierwsza nierówność daje $x\in(2-\sqrt3;2+\sqrt3)$. Druga daje $x<\frac{1-\sqrt3}{2}$ lub $x>\frac{1+\sqrt3}{2}$. Bierzemy część wspólną.

Niech $a=|2x+16|$. Pierwszy trójkąt istnieje dla $0<a<14$, a drugi dla $a>\frac72$. Łącznie $\frac72<|2x+16|<14$, czyli $\frac74<|x+8|<7$.

Oba przedziały mają środek symetrii $6$. Bliższe końce są od niego oddalone o $4$, a dalsze o $14$, więc żądany zbiór opisuje $4<|x-6|<14$.