MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 132

Mnożymy nierówność przez $3$: $32\leq|x-24|<37.$ Stąd $x\in(-13;-8\rangle\cup\langle56;61)$. Wybieramy z tych przedziałów liczby całkowite.

Liczby zaokrąglane do setek do $2800$ leżą w przedziale od $2750$ do wartości mniejszych niż $2850$, więc każda z nich jest oddalona od $2800$ najwyżej o $50$ — zdanie I jest prawdziwe.

Warunek $|x-2800|\leq50$ dopuszcza także $x=2850$, które zaokrągla się do $2900$. To kontrprzykład dla zdania II.

Ponieważ $|x-\frac52|=\frac12|2x-5|$, mamy $f(x)=\frac56|2x-5|-8,\qquad g(x)=\frac72|2x-5|.$ Równość $f(x)=g(x)$ prowadziłaby do $-8=\frac83|2x-5|$, co jest niemożliwe, gdyż prawa strona jest nieujemna.

Wyznaczamy rozwiązania odpowiedniej równości i usuwamy je z $\mathbb R$.

a) $|x-3|=7$ dla $x=-4,10$.

b) $|2x+8|=20$ dla $x=-14,6$.

c) Suma modułów to $4|x-4|$; jest równa $24$ dla $x=-2,10$.

Stosujemy $\sqrt{u^2}=|u|$ i rozwiązujemy otrzymane równania modułowe: odpowiednio $|x|=7$, $3|x|=6$, $|x-3|=5$, $|2x-7|=1$, $|x+1|=4$ oraz $|2x-1|=\frac12$.

Zamieniamy każdy pierwiastek z kwadratu na moduł. Otrzymujemy kolejno nierówności $|x-4|<1$, $|x|\leq3$, $|2x+18|\leq8$, $|6-3x|<12$, $|x-1|<10$ i $|3x+1|<4$.

Po użyciu $\sqrt{u^2}=|u|$ rozwiązujemy nierówności postaci $|u|\geq a$ lub $|u|>a$. Punkty graniczne w a, d–g należą do zbioru, a w b, c, h są wykluczone.

Dla pierwiastka w liczniku wymagamy podstawy nieujemnej, a dla pierwiastka w mianowniku — dodatniej.

a) $|x-5|\geq8$. b) $|8-6x|\geq10$. c) $|x+9|>3$. d) $|2x+10|>7$.