MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 131

Korzystamy z równoważności $|u|=a\iff u=a$ lub $u=-a$.

a) $8x+6=\pm6$. b) $-3x+2=\pm4$. c) $5-4x=\pm1$. d) $10-\frac12x=\pm2$.

W każdym podpunkcie wszystkie moduły są wielokrotnościami tego samego wyrażenia.

a) $-3|x-3|=-30$, więc $|x-3|=10$. b) $3|x+3|=18$. c) $8|x-3|=40$. d) $9|x+4|=36$. e) $6|x-7|=18$. f) $3|x-\frac12|=\frac32$.

Wykres $f$ jest literą V o wierzchołku $(3,5)$. Równanie $|x-3|+5=8$ daje $x=0$ i $x=6$, więc podstawa trójkąta na prostej $y=8$ ma długość $6$, a wysokość wynosi $3$.

Stosujemy $|u|<a\iff-a<u<a$ oraz $|u|\geq a\iff u\leq-a$ lub $u\geq a$.

a) $|x-2|<2$. b) $-11<2x+7<11$. c) $|x-\sqrt5|>2\sqrt5$. d) $\frac12x-\frac13\leq-\frac14$ lub $\frac12x-\frac13\geq\frac14$.

Pierwsza nierówność daje $I=\langle-5;3)\cup(11;19\rangle$. Druga daje $II=\langle-5;-1\rangle$. Każdy punkt przedziału $\langle-5;-1\rangle$ należy do pierwszego składnika zbioru $I$.

Wyrażenie jest nie mniejsze niż $7$, więc jednocyfrową liczbą naturalną może być tylko $7,8$ lub $9$. Odpowiada to równaniom $|3x+5|=0,1,2$. Rozwiązujemy każdą z trzech par równań liniowych.

Z pierwszej nierówności $A=(-\infty;-9\rangle\cup\langle3;\infty)$. Z drugiej $B=(-13;3)$. Wykonujemy działania na tych przedziałach, zwracając uwagę, że $-9$ należy do $A$, a $-13$ i $3$ nie należą do $B$.

Każdy warunek $a\leq|u|\leq b$ oznacza, że odległość $u$ od zera mieści się między $a$ i $b$; przy nierównościach ostrych odrzucamy odpowiednie końce. Po rozwiązaniu dwóch przedziałów w każdym podpunkcie otrzymujemy poniższe zbiory. W h) dolny warunek jest automatycznie prawdziwy.