MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 130

Porównujemy współczynniki po sprowadzeniu wzorów do wspólnych postaci.

a) $(x-a)(x-b)=x^2+4x-5$, więc $a+b=-4$, $ab=-5$; para to $-5,1$ w dowolnej kolejności.

b) $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$. Równość zachodzi dla $b=1$ i $a=-1$.

c) Licznik lewej strony to $(a+b)x-3a+2b$. Porównanie z $x-8$ daje $a+b=1$, $-3a+2b=-8$, zatem $a=2$, $b=-1$.

d) Licznik lewej strony po sprowadzeniu do mianownika $x(x+4)$ to $x^2+(4+a+b)x+4a$. Stąd $4+a+b=3$ i $4a=-12$, czyli $a=-3$, $b=2$.

Mianownik zeruje się dla $x=-2,0,2$, więc $D_f=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$. Licznik $(x-4)(x+2)$ ma w dziedzinie tylko zero $x=4$.

Na przedziale $\langle-4;-1\rangle$ mamy $|x|=-x$, a po skróceniu, z zachowaniem dziury w $x=-2$, $f(x)=-1+\frac4x.$ Funkcja ta jest malejąca na obu częściach rozpatrywanego zbioru. Największą wartość $-2$ przyjmuje dla $x=-4$, a najmniejszą $-5$ dla $x=-1$.

Niech $u=x^2-4x=(x-2)^2-4$, zatem $u\geq-4$, $u\neq-3$, a $f(x)=\frac{u}{u+3}$. Stąd $f(D_f)=(-\infty;1)\cup\langle4;\infty)$.

a) Przesunięcie o $2$ w lewo i o $2$ w dół daje $D_g=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ i $g(D_g)=(-\infty;-1)\cup\langle2;\infty)$. Dla $h(x)=f(|x|)$ wykluczamy $\pm1,\pm3$, a zbiór wartości pozostaje taki jak dla $f$.

b) Równanie $f(x)=4$ ma jedno rozwiązanie, a $f(x)=-4$ dwa, razem trzy.

c) Jeśli $a=\frac{2m}{m-1}$, równanie $|f(x)|=a$ ma dokładnie dwa rozwiązania dla $a\in\{0\}\cup\langle1;4)$. Rozwiązanie tych warunków względem $m$ daje podany zbiór.

Szukamy, dla jakich $a$ równanie $\frac{4x}{x^2+4}=a$ ma rozwiązanie rzeczywiste. Dla $a=0$ otrzymujemy $x=0$. Dla dowolnego $a$ równanie jest równoważne $ax^2-4x+4a=0$. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta=16(1-a^2)\geq0$, czyli $|a|\leq1$. Dla $a=\pm1$ także istnieją rozwiązania ($x=\pm2$), więc końce należą do zbioru wartości.

a) Liniowy mianownik $mx+3$ nie ma zera dla żadnego $x$ tylko wtedy, gdy $m=0$.

b) Mianownik jest trójmianem. Warunek ujemnego wyróżnika $16m^2-4(m+1)^2<0$ daje $(3m+1)(m-1)<0$, czyli $-\frac13<m<1$.

c) Mianownik $(x+2)^2+m-3$ jest dodatni dla każdego $x$ wtedy, gdy $m>3$. Wtedy podstawa pierwiastka jest wszędzie nieujemna dokładnie wtedy, gdy licznik $mx^2-6x+m-8$ ma wyróżnik niedodatni: $36-4m(m-8)\leq0$. Po połączeniu warunków dostajemy $m\geq9$.