MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 129

Sprowadzamy wszystkie składniki do mianownika $(x-1)^2$: $(4x-3)-3(x-1)+(x-2)x^2=x(x-1)^2.$ Dlatego dla każdego $x\neq1$ zachodzi $f(x)=x$.

Część ułamkowa upraszcza się: $-\frac{15}{x+3}+\frac{16x-42}{x^2-9}=\frac1{x-3}.$ Zatem $f(x)=5+\frac1{x-3}$ ma asymptoty $x=3$ i $y=5$. Razem z osiami $x=0$ i $y=0$ wyznaczają prostokąt o bokach $3$ i $5$.

a) Równanie przyjmuje postać $\frac2{x+3}+\frac3{x+4}=2$, gdzie $x\neq-3,-4$. Po pomnożeniu przez mianowniki dostajemy $2x^2+9x+7=0$, czyli $(2x+7)(x+1)=0$.

b) Dla $x\neq0$ równanie jest równoważne $2x^4-x^3+x-2=0$. Wielomian rozkłada się na $(x^2-1)(2x^2-x+2)$, a drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Warunek $f(x)\neq0$ wymaga jednocześnie należenia do dziedziny i niezerowego licznika. Rozkładając liczniki i mianowniki, wykluczamy:

a) $5$; b) $-6,2$; c) $-2,0,1$; d) $-3,-2,-1,3$; e) $-5,2,3$. W f) oba trójmiany mają ujemne wyróżniki i dodatnie współczynniki wiodące, więc iloraz jest określony i niezerowy dla każdego $x$.

Wykonując dzielenia kolejno od lewej strony i zachowując wszystkie wykluczenia, otrzymujemy $D_f=\mathbb R\setminus\{-3,-1,0,1\},\qquad f(x)=\frac{6(x+3)}{x-1}=6+\frac{24}{x-1}.$ Pełny wykres przekształcenia homograficznego nie przyjmuje wartości $6$. Usunięte z dziedziny punkty $-3,-1,0$ odbierają dodatkowo odpowiednio wartości $0,-6,-18$.

Idąc od najgłębszego ułamka, zapisujemy wszystkie warunki niezerowania kolejnych mianowników. Dostajemy $D_f=\mathbb R\setminus\left\{\frac{-3-\sqrt5}{2},-2,\frac{-3+\sqrt5}{2},-1,0\right\}.$ Po uproszczeniu $f(x)=\frac{x(x+2)}{x^2+3x+1}.$ Jedyni kandydaci na miejsca zerowe, $0$ i $-2$, są wykluczeni z pierwotnej dziedziny.

Licznik rozkłada się na $(x+1)(x+m)$, a dziedzina wyklucza $-3$ i $3$. Zwykle daje to dwa miejsca zerowe. Dokładnie jedno pozostaje, gdy pierwiastki licznika się pokrywają ($m=1$) albo gdy drugi pierwiastek $-m$ jest jednym z punktów wykluczonych ($m=\pm3$).

Aby dziedziną było $\mathbb R$, trójmian $x^2-2x+m$ nie może mieć pierwiastków: $4-4m<0$, więc $m>1$.

Licznik ma dwa różne pierwiastki, gdy $\Delta=(m+2)^2-4(m+2)=(m+2)(m-2)>0$, czyli $m<-2$ lub $m>2$. Część wspólna warunków to $m>2$.