MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 12

a) Mamy $x^2>3^2$, zatem $|x|>3$.

b) Nierówność $x^2<3$ jest równoważna warunkowi $|x|<\sqrt3$.

c) Rozkładamy trójmian na czynniki:

$$x^2-7x=x(x-7).$$

Iloczyn jest ujemny między jego miejscami zerowymi $0$ i $7$.

d) Mamy $x^2+9x=x(x+9)$. Parabola jest skierowana ramionami w górę, więc wyrażenie jest niedodatnie między miejscami zerowymi $-9$ i $0$.

W każdym podpunkcie wyznaczamy miejsca zerowe iloczynu i badamy jego znak.

a) Czynniki zerują się dla $x=0$ i $x=6$. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc iloczyn jest ujemny między tymi liczbami.

b) Miejsca zerowe to $-3$ i $2$. Iloczyn jest nieujemny na zewnątrz przedziału między nimi, wraz z końcami.

c) Miejsca zerowe to $-\frac32$ i $6$. Iloczyn $(6-x)(2x+3)$ jest dodatni między nimi.

d) Ponieważ $(5-x)(7-x)=(x-5)(x-7)$, wyrażenie jest niedodatnie między miejscami zerowymi $5$ i $7$.

Sprowadzamy lewe strony do postaci iloczynowej albo porównujemy kwadrat z liczbą dodatnią.

a) $6x\le x^2$ daje $x(x-6)\ge0$.

b) $8x^2-x=x(8x-1)<0$.

c) $5x-9x^2=x(5-9x)\ge0$.

d) $-x^2+5x=x(5-x)>0$.

e) $2-7x^2\le0$ jest równoważne $x^2\ge\frac27$, czyli $|x|\ge\sqrt{\frac27}$.

f) $x^2<\frac4{25}$, więc $|x|<\frac25$.

a) Dla $2x^2-7x+10$ wyróżnik wynosi $\Delta=49-80=-31<0$. Trójmian jest zawsze dodatni, więc nie może być ujemny.

b) Trójmian $-3x^2-10x-20$ ma $\Delta=100-240=-140<0$ i ujemny współczynnik przy $x^2$, zatem dla każdego $x$ jest ujemny.

c) $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$. Kwadrat jest niedodatni tylko wtedy, gdy jest równy zeru.

d) $2x^2-x+\frac18=2\left(x-\frac14\right)^2$, więc analogicznie musi zachodzić $x=\frac14$.

e) $\frac14-x+x^2=\left(x-\frac12\right)^2\ge0$ dla każdego $x$.

f)

$$-\frac14x^2+\sqrt2x-2=-\frac14(x-2\sqrt2)^2\le0,$$

zatem wyrażenie nigdy nie jest dodatnie.

a) Mnożymy nierówność przez $36$:

$$4(x+1)^2+9(x+3)^2<6(x+1)(x+3)+144.$$

Po uporządkowaniu otrzymujemy

$$7x^2+38x-77<0.$$

Miejsca zerowe tego trójmianu to

$$x_1=\frac{-38-60}{14}=-7,\qquad x_2=\frac{-38+60}{14}=\frac{11}{7}.$$

Ramiona paraboli są skierowane w górę, zatem nierówność zachodzi między miejscami zerowymi.

b) Liczby całkowite należące do tego przedziału zaczynają się od $-6$. Liczby naturalne $0$ i $1$ spełniają nierówność, natomiast $2$ już jej nie spełnia.