MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 128

W każdym podpunkcie rozkładamy wielomiany i sprawdzamy, gdzie oba pierwotne wzory są określone.

a) Oba wzory upraszczają się do $\frac{x-3}{x+4}$; wspólna dziedzina wyklucza $-4,3$.

b) Po skróceniu oba dają $\frac{x+2}{x-3}$; wykluczamy $2,3$.

c) Rozkłady licznika i mianownika funkcji $f$ prowadzą do $\frac1{x-1}$; wykluczamy $-1,1$.

d) Oba wzory dają $\frac{x-3}{x+1}$; wspólna dziedzina wyklucza $-1,0,1$.

e) Oba wzory dają $\frac{x}{(x-2)(x+2)}$; wykluczamy $-2,0,2$.

f) Oba wzory dają $\frac1{x^2+x+1}$; wykluczamy $0,1$.

Najpierw upraszczamy $f(x)=\frac{x^2-9x-5}{x(x+1)}$, gdzie $x\neq-1,0$.

Dla wartości $-\frac{13}{2}$ otrzymujemy $(3x+2)(x-1)=0$, więc $x=-\frac23$ lub $1$.

Dla wartości $-\frac56$ otrzymujemy $(11x+6)(x-5)=0$, więc $x=-\frac6{11}$ lub $5$.

Dla wartości $1$ równanie redukuje się do $-10x-5=0$, więc $x=-\frac12$. Wszystkie te liczby należą do dziedziny.

Równanie $f(x)=3$, po pomnożeniu przez $2(x+1)$, ma postać $x^2+7x+10=0$, czyli $(x+5)(x+2)=0$. Punkty przecięcia to $(-5,3)$ i $(-2,3)$. Leżą na tej samej poziomej prostej, więc ich odległość to $|-5-(-2)|=3$.

Miejsca zerowe wynikają z $(x+3)(x+12)=0$, zatem wykres przecina oś $OX$ w $(-3,0)$ i $(-12,0)$. Dla $x=0$ mamy $f(0)=4$, więc trzecim wierzchołkiem jest $(0,4)$. Podstawa ma długość $9$, a wysokość $4$.

Podstawiamy wskazany argument, pamiętając, że mianownik nie może się zerować.

a) $\frac{6+m}{2-m}=7$, stąd $m=1$.

b) $\frac{m-4}{m+2}=-1$, stąd $m=1$.

c) $\frac{3+4m}{5-2m}+2=16$, stąd $m=\frac{67}{32}$.

d) Licznik $8-2m^2$ ma być zerem. Z wartości $m=\pm2$ tylko $m=-2$ nie zeruje mianownika.

e) Równanie $\frac{14}{16-m^2}-\frac1{4-m}=1$ daje $m=-2$ lub $m=3$.

f) Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika licznik jest proporcjonalny do $m-1$, zatem $m=1$.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy $f(x)=\frac{x^2-4x+7+m}{x^2-4x+3}$. Aby funkcja była stała, licznik musi być stałą wielokrotnością mianownika. Współczynniki przy $x^2$ wymuszają tę wielokrotność równą $1$, zatem $7+m=3$.