MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 127

Rozkładamy wszystkie wielomiany na czynniki. Dziedziny $h$ i $k$ muszą zawierać wykluczenia obu funkcji, a dla $k$ także miejsca zerowe $g$.

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{-1,6\}$, $D_g=\mathbb R\setminus\{3,6\}$. Stąd $D_h=\mathbb R\setminus\{-1,3,6\}$ i $h(x)=\frac{(x+5)^2}{(x-6)^2}$; $D_k=\mathbb R\setminus\{-5,-1,3,6\}$ i $k(x)=\frac{(x-3)^2}{(x+1)^2}$.

b) $D_f=\mathbb R\setminus\{0,2\}$, $D_g=\mathbb R\setminus\{-2,0\}$. Dla obu działań wykluczamy $-2,0,2$; $h(x)=\frac{x+2}{x^2(x^2-2x+4)}$, $k(x)=\frac{x^3+8}{(x-2)^2}$.

c) $D_f=\mathbb R\setminus\{-\frac32\}$, $D_g=\mathbb R\setminus\{-\frac32,\frac32\}$. $D_h=\mathbb R\setminus\{-\frac32,\frac32\}$, $h(x)=\frac{x^4}{(2x+3)^2}$; $D_k=\mathbb R\setminus\{-\frac32,0,\frac32\}$, $k(x)=(2x-3)^2$.

d) $D_f=\mathbb R\setminus\{-\frac12,0\}$, $D_g=\mathbb R\setminus\{-2,-\frac12\}$. $D_h=\mathbb R\setminus\{-2,-\frac12,0\}$, $h(x)=\frac{(x-2)^3}{(2x+1)^2}$; $D_k=\mathbb R\setminus\{-2,-\frac12,0,2\}$, $k(x)=\frac{(x-2)(x+2)^2}{x^2}$.

Łączymy warunek nieujemności każdego wyrażenia pod pierwiastkiem z wykluczeniami mianownika.

$D_1=\langle-1;1\rangle\setminus\{\frac12\}$.

$D_2=(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;\infty)$.

$D_3=(2;3)\cup(3;\infty)$.

$D_4=(\frac13;\infty)$.

$D_5=\langle3;4)\cup(4;\infty)$.

$D_6=\{0\}\cup\langle2;\infty)$.

W $f_2$ jedyny kandydat na zero, $-1$, jest wykluczony; w $f_3$ analogicznie wykluczony jest punkt $2$. Pozostałe funkcje mają co najmniej jedno zero w swojej dziedzinie.

a) Badamy znak $\frac{2x-1}{x+4}$ przy wykluczeniu $x=-4$.

b) Wyrażenie pod pierwiastkiem upraszcza się do $\frac{5x}{2(2x-1)}$.

c) Warunki $\frac{3x}{2x-1}\geq0$ oraz $\frac{x}{2-4x}\geq0$ muszą zachodzić jednocześnie; ich jedynym wspólnym rozwiązaniem jest $0$.

Ponieważ pierwiastek jest w mianowniku, jego podstawa musi być dodatnia.

a) $3-|x|>0$, więc $D_f=(-3;3)$; licznik daje zera $-1,1$.

b) $x(x+4)>0$, więc $D_f=(-\infty;-4)\cup(0;\infty)$; z liczb $\pm3$ dopuszczalna jest tylko $3$.

c) $x^2-4>0$, więc $D_f=(-\infty;-2)\cup(2;\infty)$. Równość $|x|-2=0$ zachodzi tylko poza dziedziną.

d) Potrzebujemy $|x|\geq2$ i $|x|\neq11$. Licznik zeruje się dla $x=-5,11$, ale $11$ jest wykluczone.

Po sprowadzeniu lewej strony do mianownika $(x-1)^3$ jej licznik wynosi $x+a(x-1)+b(x-1)^2$. Ma on być identyczny z $x^2$. Porównanie współczynników daje $b=1$, $1+a-2b=0$ oraz $b-a=0$, zatem $a=b=1$.

W pierwszej gałęzi licznik ma postać $x(x-4)$. Przy warunku $x\leq2$ dopuszczalne jest tylko zero $x=0$. W drugiej gałęzi licznik to $(x-1)(x-5)$; przy $x>2$ dopuszczalne jest tylko $x=5$. Żaden z tych punktów nie zeruje odpowiedniego mianownika.