MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 126

Rozpoznajemy wykresy po asymptotach, miejscach zerowych i wartości $f(0)$. Funkcja $f$ ma asymptoty pionowe $x=\pm1$ i zera $\pm2$, funkcja $g$ nie ma asymptot pionowych, a $h$ ma asymptoty $x=\pm1$ oraz zera $0,2$. Stąd $f\to\mathrm{II}$, $g\to\mathrm{III}$, $h\to\mathrm{I}$.

W nierównościach rozkładamy liczniki na czynniki i badamy znaki z uwzględnieniem dziedzin. Dla a) punkty krytyczne to $-2,-1,1,2$. Dla b) badamy iloczyn $\frac{x^2-4}{x^2+1}\cdot\frac{x(2-x)}{x^2-1}$. Dla c) iloraz upraszcza się do $-\frac{x}{x+2}$, lecz nadal wykluczamy $-2,-1,1,2$.

Sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika.

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{\frac13\}$, a $f(x)=\frac{3(x-2)}{2(3x-1)}$.

b) $D_f=\mathbb R\setminus\{\frac25\}$, a $f(x)=\frac{x+1}{2(2-5x)}$.

c) $D_f=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$, a licznik ma postać $(2x-1)(x+2)$.

d) $D_f=\mathbb R\setminus\{-3,1\}$, a licznik to $x^2-10x-3$, którego pierwiastki wynoszą $5\pm2\sqrt7$.

a) Warunek $|x+1|-2=0$ daje $x=1$ lub $x=-3$, lecz $-3$ zeruje mianownik i nie należy do dziedziny.

b) Dla $x\neq0$ licznik $x^2(x^2-3)$ zeruje się przy $x=\pm\sqrt3$; $x=0$ jest wykluczony.

c) Niech $t=x+3$. Równanie ma postać $t-2+\frac8{|t|}=0$. Dla $t>0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych, a dla $t<0$ dostajemy $t^2-2t-8=0$, skąd dopuszczalne jest $t=-2$, czyli $x=-5$.

Dziedziną iloczynu jest część wspólna dziedzin obu czynników; skracanie nie przywraca wykluczonych punktów.

a) $D_h=\mathbb R\setminus\{-5,-2,2,5\}$, $h(x)=\frac{x-3}{(x-2)(x-5)}$, więc zero to $3$.

b) $D_h=\mathbb R\setminus\{-3,3\}$, $h(x)=\frac{x(x-1)(x+4)}{(x+3)^2}$, więc zera to $-4,0,1$.

c) $D_h=\mathbb R\setminus\{-2,0,1\}$, $h(x)=\frac{(x+5)(x-1)}{(x+2)^2}$. Punkt $1$ jest wykluczony, zatem jedyne zero to $-5$.

d) $D_h=\mathbb R\setminus\{-4,-3,-1,3\}$, $h(x)=\frac{(x-1)(x^2-9)}{(x+1)(x+4)}$. Punkty $\pm3$ są wykluczone, więc jedyne zero to $1$.

Mamy $w(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)}$ oraz $v(x)=\frac{x-2}{x+1}$.

Dla ilorazu $w/v$ trzeba dodatkowo wykluczyć zero mianownika ilorazu, czyli $x=2$. Otrzymujemy $f(x)=\frac{x}{x-1}=1+\frac1{x-1}$, $D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1,2\}$.

Dla $v/w$ wykluczamy zera $w$, czyli $0$ i $2$. Otrzymujemy $g(x)=\frac{x-1}{x}=1-\frac1x$, $D_g=\mathbb R\setminus\{-1,0,1,2\}$. Szkicujemy odpowiednie hiperbole, zaznaczając otwory w punktach wykluczonych, które nie są asymptotami.