MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 125

Warunki pod pierwiastkami muszą być nieujemne, a pod pierwiastkami w mianownikach — dodatnie.

a) $2-x\geq0$. b) $x-2>0$. c) $x+2>0$. d) $x+4\geq0$ oraz $x\neq0$. e) $5-x\geq0$ oraz $x>0$. f) $x+3\geq0$ oraz $3-x>0$.

Miejsce zerowe musi zerować licznik i należeć do dziedziny.

a) Po rozkładzie i wykluczeniu $0,-2,-3$ pozostaje $x=2$. b) Licznik $x(x-3)(x+3)$ daje $-3,0,3$. c) Jedyny kandydat $x=2$ jest wykluczony przez mianownik. d) $x^4-4=(x^2-2)(x^2+2)$, a mianownik jest dodatni, więc $x^2=2$.

Rozkładamy liczniki i mianowniki, zachowując wykluczenia z pierwotnych wzorów.

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{-\frac13,0,\frac13\}$ i $f(x)=\frac{x}{3x-1}$. Wartości: $\frac27$, brak, $\frac25$.

b) $D_f=\mathbb R\setminus\{-5\}$ i $f(x)=\frac{x(x-4)}{x+5}$. Wartości: $4,0,-\frac47$.

c) $D_f=\mathbb R\setminus\{-1,0\}$ i $f(x)=\frac{4x^2-1}{x^2}$. Wartości: $\frac{15}{4}$, brak, $\frac{15}{4}$.

d) Mianownik to $(x-2)(x^2+2)$, więc $D_f=\mathbb R\setminus\{2\}$ i $f(x)=\frac{x^2+2}{x-2}$. Wartości: $-\frac32,-1$, brak.

Funkcje są równe tylko przy jednakowych dziedzinach i wartościach.

a) Obie dziedziny to $\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ i $f(x)=\frac1{x^2-9}=g(x)$ — tak.

b) Wzory się upraszczają do tej samej postaci, lecz $D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}$, a $D_g=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$ — nie.

c) $f(x)=\frac{x(2-x)}{x^2-1}$, a $g(x)=\frac{x(x-1)}{x^2-1}$ — nie.

d) Obie dziedziny to $\mathbb R\setminus\{-2,-1\}$, a różnica ułamków wynosi $\frac3{(x+1)(x+2)}$ — tak.

Wyniki odczytujemy z przecięć i położenia wykresów; rachunek je potwierdza.

a) $\frac4{(x-1)^2}-1=3$ daje $(x-1)^2=1$, zatem $x=0$ lub $x=2$.

b) Dla $x\neq0$ znak $g(x)$ jest znakiem $x^2-1$.

c) Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika znak $f(x)-g(x)$ wyznacza $-(x+1)(x-2)(5x^2-5x+2)$. Ostatni czynnik jest zawsze dodatni.