MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 124

Dla zbioru $A$ przenosimy prawą stronę: $\frac{10(x-1)}{(6x+1)(3x+4)}\le0,$ stąd $A=(-\infty;-\tfrac43)\cup(-\tfrac16;1\rangle.$ Dla zbioru $B$ otrzymujemy $\frac{x+10}{2x(2x-5)}>0,$ czyli $B=(-10;0)\cup(\tfrac52;\infty).$ Operacje na tych przedziałach dają żądane sumę, część wspólną i różnice.

Przekształcamy: $w(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}=1+\frac1{x^2+1}.$ Dla każdego $x$ mamy $x^2+1\ge1$, zatem $0<\frac1{x^2+1}\le1.$ Po dodaniu $1$ otrzymujemy $1<w(x)\le2$.

Korzystamy ze wzoru $f(t)=2-\frac3t$ i zapisujemy dziedziny argumentów.

a) Różnica stron ma znak wyrażenia $-\frac{3x}{(2x-1)(x-1)}>0,$ co daje $(-\infty;0)\cup(\frac12;1)$.

b) $f(x-1)-f(x+1)=-\frac6{x^2-1}$. Warunek $-\frac6{x^2-1}\le2$ jest równoważny $\frac{-2(x^2+2)}{x^2-1}\le0$, więc $|x|>1$.

Pierwszy warunek upraszcza się do $\frac{9x+4}{x}<0,$ więc $x\in(-\frac49;0)$.

Drugi warunek po przeniesieniu stron ma postać $-\frac{(y+2)^2}{y(y+4)}>0.$ Musi być $-4<y<0$, przy czym $y=-2$ daje zero i odpada. Szukany obszar jest iloczynem kartezjańskim otrzymanych zbiorów.

Dla $x\neq2$ odejmujemy prawą stronę od lewej: $\frac3{x-2}-\frac12-\frac{x+1}{x-2} =\frac{2-x}{x-2}-\frac12 =-1-\frac12=-\frac32<0.$ Nierówność zachodzi więc dla każdego elementu dziedziny.

Rozkładamy wielomiany na czynniki, skracając wyłącznie z zachowaniem wykluczeń dziedziny.

a) $\frac{x(x-1)^2}{(x-3)(x+3)}\ge0$: $(-3;0\rangle\cup\{1\}\cup(3;\infty)$.

b) Po skróceniu czynnika $x-1$ badamy $\frac{x^2+x+1}{4x+1}\le0$: $(-\infty;-\frac14)$.

c) Po skróceniu $x-2$ badamy $\frac{(x-1)(x+1)}{x+3}\ge0$, z zachowaniem dziury w $x=2$.

d) Znak wyrażenia $\frac{(x+4)(x-1)(x+1)}{(x-3)(x^2+1)}$ daje dwa przedziały.

e) Po skróceniu $x+1$ znak zależy od $\frac{x^2(x^2-x+1)}{1-2x}$; usuwamy $-1$ i $0$.

f) Po odjęciu $1$ otrzymujemy $\frac{(x-1)(x^2+1)}{(2x+1)(x-3)}>0$.

g) Po dodaniu $1$ i skróceniu badamy $\frac{(x-3)(x-1)}{x+2}<0$, zachowując wykluczenie $x=-1$.

h) Po podstawieniu $t=x^2-5x$ licznik różnicy z $1$ jest zawsze ujemny. Potrzebujemy $(t+6)(t+4)>0$.

a) Różnica upraszcza się do $\frac{2a}{(1-2a)(3-4a)}.$ Dla $a<0$ licznik jest ujemny, a oba czynniki mianownika dodatnie.

b) Dla $a<0$: $a+\frac1a+2=\frac{(a+1)^2}{a}\le0.$

c) Dla $a>0$: $\frac a5+\frac5a-2=\frac{(a-5)^2}{5a}\ge0.$ W każdym podpunkcie otrzymaliśmy żądaną nierówność.

Mianowniki są dodatnie dla wszystkich $x$, więc każdą nierówność podwójną zamieniamy na dodatniość dwóch trójmianów dla wszystkich $x$.

a) Z lewej strony otrzymujemy $2x^2+(m-5)x+5-m>0$, co wymaga $-3<m<5$. Z prawej: $x^2-(m+4)x+m+7>0$, co wymaga $-6<m<2$. Część wspólna to $(-3;2)$.

b) Pierwszy trójmian $4x^2+(m+5)x+m+2$ jest dodatni dla $-1<m<7$. Drugi, $x^2-mx+3-m$, jest dodatni dla $-6<m<2$.