MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 123

Współrzędne środka odcinka są równe $x_S=\frac{3m+1}{4m},\qquad y_S=\frac{m(3m+1)}{2(m-1)(m+1)},$ przy $m\neq-1,0,1$. Warunki $x_S>0$ i $y_S>0$ rozwiązujemy tabelą znaków. Ich część wspólna to $m<-1$ lub $m>1$.

Po przeniesieniu wyrażeń na lewą stronę rozkładamy licznik i mianownik na czynniki.

a) $\frac{4(x+7)}{x(x+4)}\le0$: $(-\infty;-7\rangle\cup(-4;0)$.

b) $\frac{6-8x}{(2x+1)(x-2)}>0$: $\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac34;2\right)$.

c) $\frac{3-x}{x(x-1)}\ge0$: $(-\infty;0)\cup(1;3\rangle$.

d) $\frac{(x+7)(x+16)}{x(x+8)}\le0$: $\langle-16;-8)\cup\langle-7;0)$.

e) Po uproszczeniu badamy $\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)(x+3)}>0$: $(-\infty;-5)\cup(-3;3)\cup(4;\infty)$.

f) Różnica stron upraszcza się do $\frac{2(x+1)}{x+2}>0$, z zachowaniem wykluczeń $x=\pm2$.

Sprawdzamy znak na całym przedziale $\langle1;3\rangle$ oraz punkty wykluczone z dziedziny.

a) Po skróceniu $\frac{x-1}{4-x}\ge0$; warunek zachodzi na całym przedziale — tak.

b) Dziedzina wyklucza $x=0$, więc przedział nie jest zawarty — nie.

c) Mianownik jest ujemny dla $1\le x\le3$, a licznik nieujemny — tak.

d) Licznik jest dodatni, a mianownik dodatni na tym przedziale — nie.

e) Nierówność jest równoważna $\frac{x^2-6x-6}{2x+5}<0$, co zachodzi dla $1\le x\le3$ — tak.

f) Różnica stron to $\frac1{x-4}\ge0$, co nie zachodzi na $\langle1;3\rangle$ — nie.

Punkty przecięcia wykresów wyznaczają granice przedziałów.

a) Dla $t=x-1\neq0$ mamy $\frac4t\le t$, czyli $\frac{4-t^2}{t}\le0$. Stąd $t\in\langle-2;0)\cup\langle2;\infty)$.

b) Różnica funkcji upraszcza się do $\frac{2(x+1)}{x(x+2)}\le0$. Tabela znaków daje żądany zbiór.

Każdą nierówność podwójną traktujemy jako układ dwóch nierówności i przecinamy ich rozwiązania.

a) Z $1<\frac{x-3}{x-7}$ mamy $x>7$, a z $\frac{x-3}{x-7}<5$ otrzymujemy $x<7$ lub $x>8$; razem $x>8$.

b) Warunki dają odpowiednio $(-\infty;-4)\cup\langle-1;\infty)$ oraz $(-\infty;-5\rangle\cup(-4;\infty)$.

c) Pierwszy warunek daje $(-\infty;-3)\cup\left(-\frac52;\infty\right)$, drugi $(-\infty;-\frac52)\cup\langle5;\infty)$.

d) Pierwszy warunek daje $(-\infty;-\frac12)\cup\left\langle-\frac14;\infty\right)$, drugi $\left(-\frac12;\frac1{10}\right)$.

Korzystamy z tabeli znaków, pamiętając o zerach wielokrotnych i miejscach wykluczonych.

a) $\frac{x^2}{x-3}\ge0$: $\{0\}\cup(3;\infty)$.

b) Punkty krytyczne $-2,3,5$: $(-\infty;-2\rangle\cup\langle3;5)$.

c) Mianownik $(x-2)^2$ jest dodatni poza $2$: $\langle-3;2)\cup(2;\infty)$.

d) $\frac{(x-3)^2}{x}>0$: $(0;3)\cup(3;\infty)$.

e) Po skróceniu pozostaje $x-6<0$, lecz $x=1$ jest wykluczone.

f) Mianownik $-[(x-2)^2+3]$ jest ujemny, więc potrzebujemy $x^2-1<0$.

a) Oba mianowniki są dodatnie, a ich różnica stała. Po przeniesieniu stron znak zależy od $-(3x-5)$, więc $x\ge\frac53$.

b) Nierówność ma postać $\frac{4x-1}{16x^2+32x-9}\ge0$. Mianownik zeruje się dla $-\frac94$ i $\frac14$.

c) Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy $\frac{2(2x-3)}{x(x-1)(x-2)(x-3)}\le0.$

d) Różnica stron upraszcza się do $\frac1{x+3}\ge0$, ale zachowujemy także wykluczenie $x=1$.

Po przeniesieniu prawej strony: $\frac{x^2+7x+3}{x^2-4}-\frac1{x+2} =\frac{(x+1)(x+5)}{(x-2)(x+2)}\le0.$ Tabela znaków daje $\langle-5;-2)\cup\langle-1;2)$. Wybieramy liczby całkowite z tych przedziałów.

Warunek średniej zapisujemy jako $\frac13\left(\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1}+\frac3{x^2-1}\right)>2.$ Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy $\frac{9-4x^2}{3(x^2-1)}>0.$ Punkty krytyczne to $-\frac32,-1,1,\frac32$.