MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 122

Po pomnożeniu nierówności przez kwadrat mianownika badamy znak iloczynu i wykluczamy zero mianownika.

a) $x(x-5)>0$, więc $x\in(-\infty;0)\cup(5;\infty)$.

b) $x(2x-3)\le0$ oraz $x\neq\frac32$, więc $x\in\left\langle0;\frac32\right)$.

c) $(x+4)(x-3)\ge0$ i $x\neq3$, więc $x\in(-\infty;-4\rangle\cup(3;\infty)$.

d) $(x-8)\left(x-\frac34\right)<0$, więc $x\in\left(\frac34;8\right)$.

e) $(x-\frac15)(x-5)<0$, więc $x\in\left(\frac15;5\right)$.

f) $(x-2)\left(x+\frac12\right)\ge0$ i $x\neq-\frac12$, więc $x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\langle2;\infty)$.

Odczyt z wykresu można potwierdzić algebraicznie, przenosząc wszystko na jedną stronę.

a) $-\frac{12}{x}\ge4$ daje $\frac{x+3}{x}\le0$, więc $x\in\langle-3;0)$.

b) $-\frac{12}{x}\le6$ daje $\frac{x+2}{x}\ge0$, więc $x\in(-\infty;-2\rangle\cup(0;\infty)$.

c) $\frac{12}{x}\le2$ daje $\frac{6-x}{x}\le0$, więc $x\in(-\infty;0)\cup\langle6;\infty)$.

d) Część wspólna rozwiązań $\frac{12}{x}\ge3$ i $\frac{12}{x}\le6$ to $\langle2;4\rangle$.

Przenosimy prawą stronę i rozwiązujemy nierówność wymierną; wykresy obu stron dają te same przedziały.

a) $\frac{8-x}{x-2}\ge0$: $(2;8\rangle$, czyli 6 liczb naturalnych.

b) $\frac{x-1}{x-4}\le0$: $\langle1;4)$, czyli 3 liczby naturalne.

c) $\frac{x+5}{x-3}\le0$: $\langle-5;3)$, czyli 3 liczby naturalne.

d) $\frac{3-x}{x}\ge0$: $(0;3\rangle$, czyli 3 liczby naturalne.

e) $\frac{x-4}{x+4}>0$: $(-\infty;-4)\cup(4;\infty)$, czyli nieskończenie wiele liczb naturalnych.

f) $\frac{x+3}{x-4}\le0$: $\langle-3;4)$, czyli 4 liczby naturalne.

Tworzymy tabelę znaków z miejsc zerowych licznika i mianownika.

a) Punkty krytyczne $-2,0,3$ dają $(-2;0)\cup(3;\infty)$.

b) Mianownik jest dodatni, więc $(x+5)(2-x)\le0$: $(-\infty;-5\rangle\cup\langle2;\infty)$.

c) Z przedziału $\langle-4;1\rangle$ usuwamy $x=-3$: $\langle-4;-3)\cup(-3;1\rangle$.

d) Po skróceniu znaku otrzymujemy $\frac{x-3}{x+3}<0$: $(-3;3)$.

e) Tabela dla $\frac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x+3)}$ daje $(-3;-2)\cup(2;3)$.

f) Znak wyznacza $x^2(x-1)(x+1)$; $x=1$ jest wykluczone. Wynik to $(-\infty;-1\rangle\cup\{0\}\cup(1;\infty)$.

a) $\frac{x-4}{x+1}\le0$ dla $x\in(-1;4\rangle$. Najmniejsza liczba całkowita to $0$, a największa $4$.

b) $\frac{3x+4}{5-x}\ge0$ dla $x\in\left\langle-\frac43;5\right)$. Najmniejsza liczba całkowita to $-1$, a największa $4$.

a) Rozwiązaniem nierówności jest $(-\infty;-3)\cup\left(\frac12;\infty\right)$. Dopełnienie to $\left\langle-3;\frac12\right\rangle$, więc skrajne liczby całkowite to $-3$ i $0$.

b) Rozwiązaniem jest $(-\infty;4)\cup\langle7;\infty)$. Dopełnienie to $\langle4;7)$, więc skrajne liczby całkowite to $4$ i $6$.