MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 121

Ze skanu odczytujemy asymptoty $x=-1$, $y=2$ oraz punkt $(1,6)$. Stąd $f(x)=\frac8{x+1}+2.$ a) $\frac8{x+1}+2=3$, więc $x=7$.

b) $\frac8{x+1}+2=2x-2$ prowadzi do $(x+2)(x-3)=0$.

c) $\frac8{x+1}+2=2+\frac4{x-1}$ daje $8(x-1)=4(x+1)$, więc $x=3$.

Suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zeru tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami. Pierwszy licznik zeruje się dla $x\in\{0,1\}$, a drugi dla $x\in\{-1,0,1\}$. Wspólne dopuszczalne wartości to $0$ i $1$.

Funkcja jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik przy $x$ jest równy zeru: $\frac{m^2+m-6}{m^2+6}=0.$ Mianownik jest dodatni, a licznik ma postać $(m+3)(m-2)$.

Funkcja ma być liniowa, więc współczynnik przy $x^2$ musi zniknąć: $9-m^2=0,\qquad m\neq5.$ Daje to $m=\pm3$. Dla $m=-3$ współczynnik przy $x$ także jest zerem, natomiast dla $m=3$ wynosi $\frac{18}{5}\neq0$.

Środek odcinka $AB$ ma współrzędne $(0,0)$. Obie współrzędne punktu $P$ muszą więc być zerami. Pierwsza daje $m\in\{0,9\}$, druga $m\in\{1,9\}$. Wspólną, dopuszczalną wartością jest $9$.

Dziedzina wyklucza $x=\pm1$ oraz zera mianownika dużego ułamka. Po sprowadzeniu małych ułamków: $\frac{\frac{3x+1}{x^2-1}}{\frac{2x^2-x+1}{x^2-1}}=1.$ Trójmian $2x^2-x+1$ jest dodatni. Równanie $3x+1=2x^2-x+1$ ma postać $2x(x-2)=0$.

Po pomnożeniu przez $x+1$ otrzymujemy $x^2+mx+m=0.$ Wartość $x=-1$ nigdy nie jest pierwiastkiem tego trójmianu. Liczba rozwiązań zależy więc od $\Delta=m^2-4m=m(m-4).$

Równość wartości funkcji prowadzi do $x^2+mx+3-m=0.$ Wykluczone $x=1$ nie jest pierwiastkiem tego równania. Dwa punkty wspólne istnieją wtedy, gdy $\Delta=m^2+4m-12=(m+6)(m-2)>0.$

Punkty wspólne spełniają $x^2+(m-1)x+4=0.$ Pierwiastek $x=0$ nie może wystąpić, bo wyraz wolny wynosi $4$. Co najwyżej jeden punkt wspólny oznacza $\Delta=(m-1)^2-16\le0,$ czyli $|m-1|\le4$.

a) Z $y=-1-x$ otrzymujemy $\frac3x+\frac2{x+1}=4,$ czyli $4x^2-x-3=0$. Stąd $(x,y)=(1,-2)$ lub $\left(-\frac34,-\frac14\right)$.

b) Z $xy=\frac12$ mamy $\frac1y=2x$. Pierwsze równanie daje $\frac6x-2x=-1,$ czyli $2x^2-x-6=0$. Stąd $(x,y)=\left(2,\frac14\right)$ lub $\left(-\frac32,-\frac13\right)$.

Dla $m\neq0$ i $x\neq\pm2$ równanie jest równoważne $\frac{2x}{x^2-4}=\frac1m,$ a więc $x^2-2mx-4=0.$ Jego wyróżnik wynosi $\Delta=4m^2+16>0$, zatem istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Ponadto podstawienie $x=2$ lub $x=-2$ do trójmianu daje odpowiednio $-4m$ i $4m$, czyli liczby niezerowe. Oba pierwiastki należą więc do dziedziny, co kończy dowód.