MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 120

Iloczyn lub iloraz ułamków jest zerem wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a wszystkie działania są określone.

a) Z $(x-4)x=0$ otrzymujemy $x\in\{0,4\}$.

b) $x(2x-1)=0$, więc $x\in\left\{0,\frac12\right\}$.

c) $(x-2)(x+2)=0$, więc $x\in\{-2,2\}$.

d) Kandydat $x=-3$ jest wykluczony przez mianownik; pozostaje $2x+3=0$, czyli $x=-\frac32$.

e) Po zamianie dzielenia na mnożenie odwrotności zostaje $\frac{x}{x+1}=0$, zatem $x=0$.

f) Kandydaci $x=0$ i $x=-1$ są wykluczeni przez dziedzinę, więc brak rozwiązań.

Po wykluczeniu zer mianowników stosujemy mnożenie na krzyż.

a) $4x+3=4(2x-5)$, więc $x=\frac{23}{4}$.

b) $2x-3=2x+3$ — sprzeczność.

c) Lewa strona ma stale wartość $-\frac12$ w swojej dziedzinie, więc brak rozwiązań.

d) $3(x+2)=4(x-2)$, więc $x=14$.

e) $5(3x+5)=6(2x-4)$, więc $x=-\frac{49}{3}$.

f) Po wymnożeniu otrzymujemy $(2x-3)(x-2)=0$.

g) Równanie po skróceniu wyrazów kwadratowych daje $2x=14$.

h) Po wymnożeniu powstaje $(x+4)^2=0$.

i) Otrzymujemy $8x=2$.

Sprowadzamy równania do wspólnego mianownika i uwzględniamy dziedzinę.

a) Powstaje $x^2+x-2=0$, więc $x\in\{-2,1\}$.

b) Równość prowadzi do $2x^2+2=2x^2-2$, zatem brak rozwiązań.

c) $\frac1{x-3}=\frac2{x-2}$, więc $x=4$.

d) Otrzymany trójmian $2x^2+9x+15$ ma $\Delta=-39$, więc brak rozwiązań.

e) $2x^2-5x-3=0$, czyli $x\in\left\{-\frac12,3\right\}$.

f) $4x^2-23x-6=0$, skąd $x\in\left\{-\frac14,6\right\}$.

Mnożymy każde równanie przez najmniejszy wspólny mianownik.

a) Po redukcji otrzymujemy $x^2=1$.

b) $3(x-3)+2(x+3)=7$, więc $x=2$.

c) $(x-2)(x-4)+x=4$, czyli $(x-1)(x-4)=0$; $x=4$ jest wykluczone.

d) $3(x-3)+2x=21$, więc $x=6$.

e) Równanie upraszcza się do $(x-2)(x+1)=0$; $x=-1$ nie należy do dziedziny.

f) $(3x-1)^2=12+(3x+1)^2$, więc $x=-1$.

Punkty wspólne spełniają oba równania.

a) $\frac8{x+3}=x+1$ daje $x^2+4x-5=0$, więc $x=1$ lub $x=-5$. Odpowiednie wartości $y$ to $2$ i $-4$.

b) $\frac3{x+2}=3x+6$ daje $(x+2)^2=1$, więc $x=-1$ lub $x=-3$. Odpowiednie wartości $y$ to $3$ i $-3$.

Szkic obu par wykresów potwierdza po dwa przecięcia.

Punkty przecięcia spełniają $\frac6x=2x-1$, zatem $2x^2-x-6=(2x+3)(x-2)=0.$ Otrzymujemy $P=(2,3)$ i $Q=\left(-\frac32,-4\right)$. Różnice współrzędnych mają wartości $\frac72$ i $7$, więc $|PQ|=\sqrt{\left(\frac72\right)^2+7^2}=\frac{7\sqrt5}{2}.$

Niech boki mają długości $a=\frac{x}{x+1}$ i $b=\frac{x}{x-1}$. Z warunku obwodu: $2(a+b)=7{,}2,\qquad \frac{2x^2}{x^2-1}=\frac{18}{5}.$ Stąd $x^2=\frac94$. Ponieważ $x>1$, mamy $x=\frac32$. Boki mają długości $\frac35$ i $3$, więc pole wynosi $\frac35\cdot3=\frac95$.

Oznaczmy $A=\frac{3x-5}{x-1},\qquad B=\frac{x-1}{3x-5}.$ W dziedzinie $AB=1$, więc warunek $A+B=2AB$ ma postać $A+\frac1A=2$. Po pomnożeniu przez $A$: $(A-1)^2=0.$ Zatem $A=1$, czyli $3x-5=x-1$ i $x=2$.

Każda podstawa jest różna od $0$ i $1$, więc wartość $1$ otrzymujemy dla wykładnika równego zeru; osobno wykluczamy zero mianownika.

a) $x-3=0$, więc $x=3$.

b) $x^2-4=0$, więc $x=\pm2$.

c) $x(x-5)=0$, więc $x\in\{0,5\}$.

d) $x^2-2=0$, więc $x=\pm\sqrt2$.