MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 119

Dla równania wymiernego licznik musi być równy zeru, a mianownik różny od zera.

a) $x(x-2)=0$, ale $x\neq\pm2$, więc $x=0$.

b) $(x+5)(x+1)=0$, ale $x\neq\pm1$, więc $x=-5$.

c) Zera licznika $x=\pm\frac12$ zerują także mianownik, zatem brak rozwiązań.

d) $(x+1)^2=0$, a $x^2+1>0$, więc $x=-1$.

e) Jedyna kandydatka $x=-2$ nie należy do dziedziny.

f) $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, a trójmian $x^2+x+1$ nie ma zer rzeczywistych. Otrzymujemy $x=1$.

Sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika i zerujemy licznik.

a) $\frac{x+2}{x^2+1}=0$, więc $x=-2$.

b) $\frac{3(x+4)}{x-4}=0$, więc $x=-4$.

c) $\frac{8-2x}{x-7}=0$, więc $x=4$.

d) $\frac{x-14}{x+3}=0$, więc $x=14$.

e) Powstaje $\frac{3(x+3)}{6(x+3)}$, lecz $x=-3$ jest wykluczone; brak rozwiązań.

f) $\frac{2x+7}{x+1}=0$, więc $x=-\frac72$.

Po wykluczeniu zer mianowników mnożymy stronami.

a) $2x-9=5x$, więc $x=-3$.

b) $2(5x-1)=x$, więc $x=\frac29$.

c) $3x-5=4(x+1)$, więc $x=-9$.

d) $0{,}5x-3=5(0{,}3x-5)$, więc $x=22$.

e) $4(3x-1)=8x+2$, więc $x=\frac32$.

f) $5-2x=-4(3x-4)$, więc $x=\frac{11}{10}$.

Liczymy dopuszczalne zera liczników.

• I: z $\{-4,0,3\}$ pozostaje tylko $-4$.
• II: dopuszczalne są $-6$, $0$, $2$ — trzy pierwiastki.
• III: dopuszczalne są $0$ i $\frac12$ — dwa pierwiastki.
• IV: licznik zeruje się dla $x=\pm1,\pm2$, a mianownik $x^2+x+4$ jest zawsze dodatni.

Najwięcej, cztery pierwiastki, ma równanie IV.

Wyznaczamy zbiory rozwiązań obu równań i bierzemy ich część wspólną.

a) $\{2,5\}\cap\{2,3\}=\{2\}$.

b) $\{6\}\cap\{1,6\}=\{6\}$.

c) $\{-5,1\}\cap\{-1,2\}=\varnothing$.

d) Oba równania mają zbiór rozwiązań $\{-2,4\}$.

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki i odrzucamy wartości spoza dziedziny.

a) $\frac{x^2(x-2)}{(x-2)(x+2)}=0$, więc $x=0$.

b) $\frac{(x+5)(x-3)}{x(x-3)(x+3)}=0$, więc $x=-5$.

c) Licznik to $x(x-5)(x+1)$, zatem $x\in\{-1,0,5\}$.

d) Oba zera licznika, $-1$ i $2$, są wykluczone przez mianownik.

e) Trójmian w nawiasie ma ujemną deltę, więc jedyne zero to $x=0$.

f) $x(x^2-6x+6)=0$, stąd $x=0$ lub $x=3\pm\sqrt3$.