MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 118 — rozwiązania zadań

Zadanie 16

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odejmujemy prawy ułamek od lewego. Dla $x\neq0$ :

\frac{(5+x)^2-(5-x)^2}{5x} =\frac{20x}{5x}=4.

Po przeniesieniu składnika otrzymujemy dokładnie podaną równość.

Odpowiedź

Równość jest tożsamością dla każdego $x\neq0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 17

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Prawa strona po sprowadzeniu do wspólnego mianownika jest równa

\frac{2(x^2+4)-(x-2)^2}{x^2+4}=\frac{(x+2)^2}{x^2+4},

czyli lewej stronie.

b) Licznik ilorazu upraszcza się do

1+\frac{x^2(x^2-1)}{x^2+1}=\frac{x^4+1}{x^2+1},

a mianownik do

x^2-\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^4+1}{x^2+1}.

Są to te same, zawsze dodatnie wyrażenia, więc ich iloraz wynosi $1$ .

Odpowiedź

Obie równości są tożsamościami dla wszystkich $x\in\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 18

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy każdą równość przez wspólny mianownik i porównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach $x$ .

a) $x-5=a(x-3)+b(x+2)$ , skąd $a+b=1$ , $-3a+2b=-5$ .

b) $6=a(x+1)+b(x-1)$ .

c) $4x+6=ax+b(x+6)$ .

d) $x-2=x(ax+b)-2(x^2+1)$ .

Odpowiedź

a) $a=\frac75$ , $b=-\frac25$ .
b) $a=3$ , $b=-3$ .
c) $a=3$ , $b=1$ .
d) $a=2$ , $b=1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 19

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy przez wspólny mianownik i porównujemy współczynniki. W c) wygodnie podstawiamy $t=x-1$ i zapisujemy licznik jako $2t^2+t+3$ ; w d) podstawienie biegunów od razu daje $b=c=1$ .

Odpowiedź

a) $a=2$ , $b=1$ , $c=-3$ .
b) $a=\frac13$ , $b=-\frac13$ , $c=-\frac23$ .
c) $a=2$ , $b=1$ , $c=3$ .
d) $a=-1$ , $b=1$ , $c=1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 20

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dodajemy trzy równości. Każde z wyrażeń $A,B,C$ występuje wtedy dwa razy:

2(A+B+C)=\frac{8x^2+4x}{x^2-4}.

Każde wyrażenie osobno uzyskujemy, dodając dwie sumy, które je zawierają, i odejmując trzecią, a potem dzieląc przez $2$ .

Odpowiedź

a) $A+B+C=\frac{4x^2+2x}{x^2-4}$ .
b) $A=\frac{x}{x+2}$ , $B=\frac{2x}{x-2}$ , $C=\frac{x^2}{x^2-4}$ , przy $x\neq\pm2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 21

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zaczynamy od najbardziej wewnętrznego ułamka i po każdym kroku upraszczamy.

a) Kolejne wartości to

\frac{x}{x+1},\quad\frac{x+1}{2x+1},\quad \frac{2x+1}{3x+2},\quad\frac{3x+2}{5x+3}.

b) Kolejne wartości to

\frac{x}{x-1},\quad 1-x,\quad\frac1x,\quad\frac{x}{x-1}.

Odpowiedź

a) $\frac{3x+2}{5x+3}$ , $x\notin\{-1,-\frac23,-\frac35,-\frac12,0\}$ .
b) $\frac{x}{x-1}$ , $x\notin\{0,1\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 22

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po sprowadzeniu prawej strony do wspólnego mianownika otrzymujemy

\frac1n-\frac1{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac1{n(n+1)}.

W każdej sumie kolejne składniki po takim rozkładzie skracają się teleskopowo.

Odpowiedź

a) $\frac23$ . b) $\frac13$ . c) $\frac{999}{1000}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 23

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $x^2-y^2\neq0$ oba mianowniki są niezerowe. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:

\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{2(x-y)(x+y)} =\frac{4xy}{2(x^2-y^2)} =\frac{2xy}{x^2-y^2}.

Odpowiedź

Równość zachodzi dla wszystkich $x,y\in\mathbb R$ spełniających $x^2-y^2\neq0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu