MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 117 — rozwiązania zadań

Zadanie 9

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw wykonujemy odejmowanie w nawiasie, następnie rozkładamy czynnik stojący poza nim i skracamy.

Odpowiedź

a) $x-3$ , $x\neq\pm1$ .
b) $\frac{-8x-3}{4x^2-9}$ , $x\notin\{-\frac32,-1,0,\frac32\}$ .
c) $-\frac{3(x-3)}{x+3}$ , $x\notin\{-4,-3,3\}$ .
d) $-\frac{12x}{x^2-4}$ , $x\notin\{-4,-2,2,4\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy pierwszy i trzeci ułamek, a następnie dodajemy drugi:

\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x-2}=-\frac{4x}{x^2-4},

-\frac{4x}{x^2-4}+\frac{4x}{x^2+4}=\frac{-32x}{x^4-16}.

Zatem $a=-32$ , $c=-16$ .

Odpowiedź

$ac=512$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika. W d) najpierw upraszczamy licznik i mianownik ułamka złożonego; ich iloraz jest równy $2x+1$ .

Odpowiedź

a) $\frac{4x-1}{x^2-1}$ .
b) $\frac{2x^2+6x+1}{(x-1)^2(x+2)}$ .
c) $\frac{2(1-2x)}{x^2-1}$ .
d) $2x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy mianowniki na czynniki. W d) i e) korzystamy z rozkładów teleskopowych

\frac1{u(u+1)}=\frac1u-\frac1{u+1},\qquad \frac1{u(u+2)}=\frac12\left(\frac1u-\frac1{u+2}\right).

Odpowiedź

a) $\frac1{2x(x+1)}$ , przy zachowaniu $x\neq-2$ .
b) $\frac{x+5}{x+3}$ .
c) $\frac{8x^3}{x^4-16}$ .
d) $\frac4{(x+1)(x+5)}$ , przy $x\notin\{-5,-4,-3,-2,-1\}$ .
e) $\frac4{x(x+8)}$ , przy $x\notin\{-8,-6,-4,-2,0\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Upraszczamy osobno każdy nawias lub ułamek złożony, po czym skracamy czynniki w iloczynie albo ilorazie.

Odpowiedź

a) $1$ , $x\notin\{-2,-1,2\}$ .
b) $4$ , $x\notin\{-1,0,1\}$ .
c) $1-x$ , $x\neq\pm1$ .
d) $\frac{(x+5)^2}{2(x+2)}$ , $x\notin\{-3,-2,-1\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $s=5220$ m i $t=15$ s:

15=\frac{5\cdot5220}{3(550+T)}.

Stąd

45(550+T)=26100,\qquad T=30.

Odpowiedź

Temperatura powietrza wynosiła $30^\circ\mathrm C$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $x\neq\pm2$ sprowadzamy obie strony do mianownika $(x-2)(x+2)$ . Lewa strona jest równa

\frac{2(x-2)-x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-x^2-4}{(x-2)(x+2)}.

Prawa strona daje

\frac{-2(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-x^2-4}{(x-2)(x+2)}.

Obie strony są równe dla każdego dopuszczalnego $x$ .

Odpowiedź

Równość jest tożsamością dla $x\in\mathbb R\setminus\{-2,2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu