MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 114 — rozwiązania zadań

Zadanie 9

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki, grupując wyrazy albo stosując wzory skróconego mnożenia. Wykluczenia pochodzą z pierwotnych mianowników.

Odpowiedź

a) $\frac{2x+3}{2x-1}$ , $x\neq\pm\frac12$ .
b) $\frac{2x-3}{x^2}$ , $x\notin\{0,-\frac32\}$ .
c) $\frac{2(4-x)}{x+2}$ , $x\neq\pm2$ .
d) $\frac1{x-5}$ , $x\notin\{-1,1,5\}$ .
e) $\frac{x+2}{x+1}$ , $x\notin\{-1,2\}$ .
f) $\frac{x+2}{x-1}$ , $x\notin\{-2,1\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Liczymy od najbardziej wewnętrznego ilorazu:

\frac{x^2}{x+2}:\frac{x+1}{x+2}=\frac{x^2}{x+1},

\frac{3x-9}{2x-6}:\frac{x^2}{x+1}=\frac{3(x+1)}{2x^2}.

Ostatnie dzielenie daje

\frac{x^2-1}{x^2}:\frac{3(x+1)}{2x^2}=\frac{2(x-1)}3.

Odpowiedź

$\frac{2(x-1)}3$ , przy $x\notin\{-2,-1,0,3\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Warunek dla licznika przy $x=4$ daje

24-m=-2,

więc $m=26$ . Wtedy

w(4)=\frac{-2}{(4+26)(26-8)}=-\frac1{270}.

Odpowiedź

$w(4)=-\frac1{270}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wybieramy w mianowniku iloczyn czynników liniowych zerujących się dokładnie w wykluczonych punktach. Stałą w liczniku dobieramy tak, aby wartość dla $x=1$ była równa $-2$ .

Odpowiedź

Przykładowo: a) $\frac6{x-4}$ ; b) $\frac2{x(x-2)}$ ; c) $\frac4{(2x-1)(x-3)}$ ; d) $\frac{-90}{x(x^2-4)(x^2-16)}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 14

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdy iloraz zastępujemy iloczynem przez odwrotność, a następnie skracamy czynniki. Zera dzielnika pozostają wykluczone mimo skrócenia.

Odpowiedź

a) $\frac{2x-3}{x(x-7)}$ , $x\notin\{0,\frac32,7\}$ .
b) $\frac{x^2(x+1)}{x+3}$ , $x\notin\{-3,-1,3\}$ .
c) $\frac{x-2}{3(2x+1)}$ , $x\notin\{-\frac12,-\sqrt3,\sqrt3\}$ .
d) $\frac13$ , $x\notin\{-\frac13,\frac13,1\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po zamianie obu dzieleń na mnożenie przez odwrotność rozkładamy różnice kwadratów i skracamy wspólne czynniki.

Odpowiedź

a) $\frac{(2x-1)^2}{9}$ , $x\notin\{-5,-\frac12,\frac12,5\}$ .
b) $\frac{9-x^2}{6}$ , $x\notin\{-5,-3,0,3,5\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 16

3 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla proporcjonalności odwrotnej iloczyn współrzędnych każdego punktu jest stały i dla $A$ wynosi $ab$ . Sprawdzamy iloczyny współrzędnych punktu $B$ .

a)

\frac{a}{b(a+1)}\cdot b^2(a+1)=ab.

b)

\frac{3b(2b+1)}{9a}\cdot\frac{3a^2}{2b+1}=ab.

c)

b(a+2)\cdot\frac a{a+2}=ab.

W każdym przypadku $B$ leży więc na tym samym wykresie.

Odpowiedź

W każdym podpunkcie iloczyn współrzędnych punktu $B$ jest równy $ab$ , zatem $B$ należy do tej samej proporcjonalności odwrotnej.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 17

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po rozkładzie i skróceniu wyrażenie przyjmuje postać

\frac4{x+2},\qquad x\notin\{-2,-1,0,3\}.

Dla naturalnego $x$ liczba $x+2$ jest dodatnim dzielnikiem $4$ . Możliwość $x=0$ jest wykluczona przez pierwotne wyrażenie, pozostaje $x=2$ .

Odpowiedź

$x=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem