MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 113 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

3 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy kolejno podane liczby i odrzucamy te, które zerują mianownik.

a) $x=-2$ jest wykluczone; dla $0,1,\sqrt2$ otrzymujemy odpowiednio $0,-\frac16,\frac{\sqrt2-4}{7}$ .

b) $x=-2$ jest wykluczone; wartości dla $0,1,\sqrt2$ to $-\frac13,0,\frac{34-24\sqrt2}{3}$ .

c) Ponieważ mianownik to $(x^2-1)^2$ , wykluczamy $x=1$ . Dla $-2,0,\sqrt2$ otrzymujemy $-\frac59,-1,2\sqrt2-1$ .

Odpowiedź

a) $W(-2)$ — nie istnieje; $W(0)=0$ , $W(1)=-\frac16$ , $W(\sqrt2)=\frac{\sqrt2-4}{7}$ .
b) $W(-2)$ — nie istnieje; $W(0)=-\frac13$ , $W(1)=0$ , $W(\sqrt2)=\frac{34-24\sqrt2}{3}$ .
c) $W(-2)=-\frac59$ , $W(0)=-1$ , $W(1)$ — nie istnieje, $W(\sqrt2)=2\sqrt2-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy wielomiany na czynniki i skracamy, zachowując wykluczenia wynikające z wyjściowego mianownika.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-2,5\}$ , $\frac{x+2}{2(x-5)^2}$ .
b) $D=\mathbb R\setminus\{-5,5\}$ , $\frac{x-5}{x+5}$ .
c) $D=\mathbb R\setminus\{-2,0,2\}$ , $\frac1{x+2}$ .
d) $D=\mathbb R\setminus\{0,1,3\}$ , $\frac{x-3}{x(x-1)}$ .
e) $D=\mathbb R\setminus\{\frac43\}$ , $\frac2{3x-4}$ .
f) $D=\mathbb R\setminus\{-1,0,\frac12\}$ , $\frac3{2x-1}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ , więc wyrażenie upraszcza się do $\frac1{x-\sqrt2}$ przy $x\neq\pm\sqrt2$ .

b) $4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$ , a $2x^2+1>0$ , zatem pierwiastek jest równy $2x^2+1$ .

c) Licznik i mianownik są pierwiastkami z kwadratów dodatnich wyrażeń: otrzymujemy $\frac{2x^2+3}{x^2+1}$ . Wszystkie trzy wyniki są ilorazami wielomianów, czyli wyrażeniami wymiernymi.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-\sqrt2,\sqrt2\}$ , wartość dla $x=-2$ : $\frac{\sqrt2-2}{2}$ .
b) $D=\mathbb R$ , wartość: $9$ .
c) $D=\mathbb R$ , wartość: $\frac{11}{5}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzory na sumę i różnicę sześcianów oraz grupowanie wyrazów.

a) $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ .

b) $27x-x^4=x(3-x)(x^2+3x+9)$ .

c) Licznik to $(x-8)(x^2+1)$ , a mianownik $(x-8)(x^2-1)$ .

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{-1\}$ , $\frac{4x}{x^2-x+1}$ .
b) $D=\mathbb R\setminus\{0,3\}$ , $\frac2{x(3-x)}$ .
c) $D=\mathbb R\setminus\{-1,1,8\}$ , $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność i rozkładamy wielomiany na czynniki. Wykluczamy zera wszystkich pierwotnych mianowników oraz zera dzielnika.

Odpowiedź

a) $\frac{2x}{x+4}$ , $x\neq-4$ .
b) $1$ , $x\notin\{-5,5\}$ .
c) $\frac1{(x+1)(x-2)}$ , $x\notin\{-2,-1,2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy mianowniki i liczniki na czynniki, a następnie skracamy wspólne czynniki. Wykluczenia zachowujemy z postaci wyjściowej.

Odpowiedź

a) $\frac{10x}{3x-1}$ , $x\notin\{0,\frac13\}$ .
b) $\frac{2x}{(2x-3)(x-3)}$ , $x\notin\{-\frac32,0,\frac32,3\}$ .
c) $\frac{(3x-1)(x+3)}{x(3x+1)}$ , $x\notin\{-\frac13,0,\frac13,3\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każde dzielenie zmieniamy na mnożenie przez odwrotność. Do wykluczeń z mianowników dopisujemy zera licznika dzielnika.

Odpowiedź

a) $\frac{(x-3)^2}{(x-5)^2}$ , $x\notin\{-2,-1,3,5\}$ .
b) $\frac{3(x-2)}{3x-4}$ , $x\notin\{-2,0,\frac43\}$ .
c) $\frac{x(9x-4)}{3x+2}$ , $x\notin\{-\frac23,\frac49,\frac23\}$ .
d) $\frac{x^2-1}{x-2}$ , $x\notin\{-2,-1,2,3\}$ .
e) $\frac{2x-9}{6(x-1)}$ , $x\notin\{-\frac92,-1,1\}$ .
f) $\frac{(x+3)^2}{3x(x-3)}$ , $x\notin\{-3,0,3\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Traktujemy kreskę główną jako dzielenie i mnożymy przez odwrotność mianownika złożonego. Wykluczamy również te argumenty, dla których ten mianownik ma wartość zero.

Odpowiedź

a) $10$ , $x\notin\{-1,1\}$ .
b) $\frac6{(x-1)(2x-1)}$ , $x\notin\{0,\frac12,1\}$ .
c) $\frac{x+1}{x+2}$ , $x\notin\{-2,1,2\}$ .
d) $(x-3)(x-1)$ , $x\notin\{-3,-1,1\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem