MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 112

Równanie przekształcamy do postaci

Dla $k>1$ prawa strona jest ujemna, więc brak rozwiązań. Dla $k\le1$ rozpatrujemy

Pierwsze daje $x=1/k$ i znika dla $k=0$; drugie zawsze daje $x=1/(2-k)$. Dla $k=1$ oba wyniki są identyczne.

Niech $c=2m-1$. Dla $c<0$ równanie z wartością bezwzględną nie ma rozwiązań. Dla $c=0$ ma jedno. Dla $c>0$ rozwiązujemy dwa równania, $h(x)=c$ i $h(x)=-c$, gdzie

Drugie równanie nie ma rozwiązania tylko dla $c=3$, bo $-3$ jest wartością wykluczoną z $W_h$.

Odbicie względem $y=c$ zmienia $f$ na $2c-f$. Odbicie względem $x=c$ zmienia argument na $2c-x$.

a) Na podanej dziedzinie $|x+2|=x+2\in[1;6]$. Funkcja $3-6/(x+2)$ rośnie od $-3$ do $2$ i zeruje się dla $x=0$. Po zastosowaniu modułu minimum wynosi $0$, a maksimum $3$.

b) Na $[-6;-2]$ wyrażenie $|6/x+2|$ osiąga minimum $0$ dla $x=-3$, więc $f(-3)=4$. Na $[2;6]$ wyrażenie $6/x+2$ maleje od $5$ do $3$, zatem najmniejsza wartość funkcji wynosi $f(2)=-1$.

Rozpatrujemy wyłącznie $x>0$ i usuwamy moduły na przedziałach wyznaczonych przez ich punkty zmiany.

a) Na $(0;2)$ funkcja maleje od $1$ (bez tej wartości) do $0$, a na $(2;\infty)$ rośnie od $0$ do $2$ (bez tej wartości). Poziom $m$ przecina obie części dokładnie dla $0<m<1$.

b) Dla $0<x<1$ wartości tworzą przedział $(1;2)$, dla $1\le x<3$, $x\neq2$, funkcja jest równa $2$, a dla $x\ge3$ maleje od $2$ do $0$. Dwa przecięcia występują dla $1<m<2$.

Dla $m<0$ liczba

spełnia równanie po podstawieniu $|x|=x$. Dla $m=0$ rozwiązaniem jest $x=0$. Dla $m>0$ liczba

spełnia równanie po podstawieniu $|x|=-x$. W każdym przypadku otrzymaliśmy co najmniej jedno rozwiązanie, co dowodzi tezy.

Szukamy takich poziomów $m$, dla których dwa rozwiązania leżą po przeciwnych stronach zera.

a) Z $|x-1|=2/(4-m)$ otrzymujemy $x=1\pm2/(4-m)$. Mają przeciwne znaki wtedy i tylko wtedy, gdy $2<m<4$.

b) Równania bez modułu dają

Dla $m\ge0$ pierwszy jest dodatni, a drugi ujemny dokładnie dla $1<m<2$.

c) Dla gałęzi $x\ge0$ i $x<0$ otrzymujemy odpowiednio

Pierwszy jest dodatni, a drugi ujemny jednocześnie dla $-1<m<0$.