MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 111

Wyrażenia pod pierwiastkami są kwadratami:

Korzystamy z $\sqrt{u^2}=|u|$.

Rysujemy tylko fragment wykresu na $[-3;3]\setminus\{1\}$. Istotne punkty to $(-3,1)$, $(-1,0)$, $(0,2)$ i $(3,4)$; prosta $x=1$ jest asymptotą pionową. Na przedziale $[-1;1)$ wartości rosną od $0$ do nieskończoności, więc zbiór wartości całego ograniczonego wykresu to $[0;\infty)$.

Zapisujemy

Dla całkowitych współrzędnych liczba $x-4$ musi być całkowitym dzielnikiem $12$. Sprawdzamy dwanaście dzielników $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$.

Dla $m>0$ równanie jest równoważne

Równanie $|x|=2+\frac4m$ zawsze daje dwa rozwiązania. Druga wartość, $|x|=2-\frac4m$, daje dwa dodatkowe rozwiązania dla $m>2$, jedno dodatkowe dla $m=2$ i żadnego dla $0<m<2$.

Niech $t=|x-1|>0$. Dla $m\ge0$ rozwiązujemy

Równanie $\frac9t-3=m$ zawsze daje jedną dodatnią wartość $t$, czyli dwa argumenty. Równanie $\frac9t-3=-m$ daje drugą wartość $t$ tylko dla $m<3$. Dla $m=0$ obie wartości $t$ są takie same.

Podstawiamy $t=|x|\ge0$. Dla $m\neq3$ równanie daje

Nie ma rozwiązania, gdy prawa strona jest ujemna, czyli dla $-2<m<3$. Dla $m=3$ równanie także jest niemożliwe. Przy $m=-2$ otrzymujemy $t=0$, więc ta wartość nie należy do szukanego zbioru.

a) Najpierw rysujemy $f$, odbijając ujemną część funkcji $\frac{3x+3}{x-2}$ ponad oś $OX$, a następnie przesuwamy wykres o $4$ jednostki w dół.

b) Zastąpienie $x$ przez $x-3$ przesuwa wykres o $3$ jednostki w prawo:

Równanie ma postać

Prawa strona wymusza $x\le10$. Osobno rozpatrujemy $x<4$ i $4<x\le10$, usuwając moduł zgodnie ze znakiem ilorazu. Otrzymujemy kolejno $x=2$ oraz $x\in\{6,10\}$.

Dla $x<0$ rysujemy moduł funkcji $-3-\frac6x$: ma ona zero $x=-2$, asymptotę pionową $x=0$ i poziomą $y=3$ po zastosowaniu modułu. Dla $x>0$ rysujemy moduł funkcji $2-\frac{10}{x}$: ma zero $x=5$, tę samą asymptotę pionową i asymptotę poziomą $y=2$.