MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 110

Ze skanu odczytujemy asymptoty, czyli $p$ i $q$, a wartość $a$ wyznaczamy z zaznaczonego punktu siatki.

a) Asymptoty to $x=2$, $y=0$, a punkt $(1,1)$ daje $a=1$. Równanie $f(x)=1$ daje $|x-2|=1$; funkcja nie ma zer.

b) Asymptoty to $x=0$, $y=2$, a miejsca zerowe odczytane jako $\pm2$ dają $a=-4$. Dla $f(x)=1$ mamy $|x|=4$.

c) Asymptoty to $x=-3$, $y=-1$, a zaznaczone przecięcia z osią $OX$ w $-5$ i $-1$ dają $a=2$. Dla $f(x)=1$ mamy $|x+3|=1$.

Warunek $g(x)=2$ jest równoważny $|f(x)|=2$. Z kolei $h(x)=-3$ oznacza $|f(x)|=3$. W każdym podpunkcie rozwiązujemy więc po dwa równania: $f(x)=r$ i $f(x)=-r$.

a) Funkcja jest parzysta, ma asymptotę pionową $x=0$, poziomą $y=2$ i zera $x=\pm4$. Części wykresu, dla których $8/|x|-2<0$, odbijamy ponad oś $OX$.

b) Wykres jest symetryczny względem $x=2$, ma asymptotę pionową $x=2$, poziomą $y=4$ oraz zera $x=0$ i $x=4$. Ujemne części wykresu wyrażenia wewnątrz modułu odbijamy ponad oś $OX$.

Rozbijamy dziedzinę w miejscach zerowych licznika, zerach mianownika i punktach zmiany znaku pod modułem. Na każdym przedziale usuwamy moduł i korzystamy z monotoniczności funkcji homograficznej. Następnie liczymy przecięcia z poziomą prostą $y=m$.

Dla $m<0$ brak rozwiązań, bo wartość bezwzględna jest nieujemna. Dla $m>0$ rozwiązujemy równania $h(x)=m$ i $h(x)=-m$, gdzie $h$ jest wyrażeniem wewnątrz modułu. Każde daje po jednym rozwiązaniu, z wyjątkiem poziomu równego modułowi asymptoty poziomej, gdy jedno z równań jest niemożliwe. Dla $m=0$ oba znaki opisują to samo zero.

Podstawiamy $t=|x|\ge0$. Dla wyznaczonej wartości $t>0$ otrzymujemy dwa argumenty $x=\pm t$, dla $t=0$ jeden, a dla $t<0$ — żadnego.