MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 108

Sprowadzamy wzory do postaci $q+\frac r{x-p}$. Jeżeli obie współrzędne mają być naturalne, odpowiedni całkowity mianownik musi być dzielnikiem reszty.

a) $f(x)=6+\frac5{x-1}$, więc sprawdzamy naturalne $x$ takie, że $x-1\mid5$.

b) $f(x)=3-\frac8{x+1}$; dodatnie $x+1$ musi dzielić $8$, a wynik ma być nieujemny.

c) $f(x)=-3+\frac6{2x-1}$.

d) $f(x)=-3+\frac6{x-2}$.

Zapisujemy

Dla całkowitych współrzędnych liczba $x-4$ musi być dzielnikiem $6$. Po sprawdzeniu dzielników i odrzuceniu ujemnych współrzędnych zostaje sześć punktów.

Warunek przejścia przez początek układu daje

zatem $m=0$. Wtedy

Iloraz jest ujemny, gdy $x$ i $x+2$ mają ten sam znak.

Funkcja $\frac{ax+b}{cx+d}$ nie jest homograficzna, gdy $c=0$ albo $ad-bc=0$.

a) Tylko $k=0$ zeruje współczynnik przy $x$ w mianowniku; otrzymujemy funkcję liniową $-\frac32x$.

b) Wyznacznik wynosi $-16-6k$, więc $k=-\frac83$. Wtedy licznik jest $\frac23$ mianownika.

c) Wyznacznik wynosi $k+6$, więc $k=-6$. Wtedy licznik jest $-3$ razy mianownikiem.

Wykluczamy parametr zerujący wyznacznik licznika i mianownika. W postaci $\frac A{x-p}+q$ funkcja jest malejąca dla $A>0$, a rosnąca dla $A<0$.

Przekształcamy równanie:

Każdy z ośmi całkowitych dzielników $d\in\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}$ wyznacza jedną parę przez $x-3=d$, $y-2=6/d$.

Wyznacznik licznika i mianownika jest równy

więc dla każdego $k$ funkcja jest homograficzna. Dzieląc licznik przez mianownik, dostajemy

zatem środek ma współrzędne $(-k,k)$.

Dla $k=-1$ mamy $f(x)=-1-\frac3{x-1}=-\frac{x+2}{x-1}$. Badanie znaku daje $f(x)>0$ dla $-2<x<1$.

a) Pochodna znaku monotoniczności ma licznik równy wyznacznikowi $3a-1$. Funkcja jest rosnąca, gdy $3a-1>0$.

b) Aby funkcja była określona na całych przedziałach rozdzielonych przez $1$, jej jedyny biegun musi być równy $1$ (przypadek stałego mianownika daje funkcję rosnącą). Stąd $-1/a=1$, czyli $a=-1$. Wtedy $f(x)=-1+\frac1{x-1}$ jest malejąca na obu przedziałach.