MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 107

Dzielimy licznik przez mianownik, a resztę zapisujemy jako wielokrotność odwrotności $x-p$.

Szukamy rozwiązań równania $f(x)=g(x)$ z uwzględnieniem dziedzin.

a)

skąd $x=1$.

b) Po pomnożeniu przez $(x-4)(x+1)$ dostajemy

czyli $5x(x-3)=0$. Oba wyniki należą do dziedziny.

Niech $x_1<x_2$ należą do wskazanego przedziału.

a)

więc funkcja jest rosnąca.

b) Ponieważ $f(x)=3+\frac1{x-1}$,

c) Ponieważ $f(x)=5-\frac{11}{x+2}$,

Funkcja $\frac6{x-3}$ jest malejąca na każdym z przedziałów $(-\infty;3)$ i $(3;\infty)$. Na $[-4;1]$ najmniejszą wartość osiąga zatem przy $x=1$, a na $[4;5]$ największą przy $x=4$.

Z dziedziny odczytujemy asymptotę pionową, ze zbioru wartości — poziomą. Pozostały współczynnik wyznaczamy z podanego punktu albo miejsca zerowego.

Brak przecięcia z $y=4$ oznacza, że $y=4$ jest asymptotą poziomą, zatem $a=4$. Przerwa monotoniczności wskazuje asymptotę $x=-2$, więc $p=-2$. Warunek $f(0)=1$ daje

czyli $b=2$. Rzeczywiście $f(x)=4-\frac6{x+2}$ jest rosnąca na obu składowych dziedziny.

Zapisujemy

Dla całkowitych $x$ wartość $f(x)$ jest całkowita wtedy i tylko wtedy, gdy $x+2$ jest całkowitym dzielnikiem liczby $2$. Rozpatrujemy $x+2\in\{-2,-1,1,2\}$.