MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 106 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Punkt przecięcia z osią $OX$ spełnia $3x+12=0$ , więc ma odciętą $-4$ . Dla $x=0$ otrzymujemy $f(0)=6$ .

Odpowiedź

Punkty wspólne z osiami to $(-4,0)$ i $(0,6)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dzielimy licznik przez mianownik i zapisujemy funkcję w postaci $\frac a{x-p}+q$ . Znak $a$ określa monotoniczność: dla $a>0$ funkcja jest malejąca, dla $a<0$ rosnąca, na obu składowych dziedziny.

Odpowiedź

a) $g(x)=-\frac7{x+3}+2$ : $a=-7$ , $p=-3$ , $q=2$ ; $D_g=\mathbb R\setminus\{-3\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{2\}$ ; rosnąca na $(-\infty;-3)$ i $(-3;\infty)$ .
b) $g(x)=\frac{20}{x-5}+3$ : $a=20$ , $p=5$ , $q=3$ ; $D_g=\mathbb R\setminus\{5\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{3\}$ ; malejąca na $(-\infty;5)$ i $(5;\infty)$ .
c) $g(x)=\frac{9}{4(x+2)}-1$ : $a=\frac94$ , $p=-2$ , $q=-1$ ; $D_g=\mathbb R\setminus\{-2\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{-1\}$ ; malejąca na $(-\infty;-2)$ i $(-2;\infty)$ .
d) $g(x)=\frac3{x-\frac32}-2$ : $a=3$ , $p=\frac32$ , $q=-2$ ; $D_g=\mathbb R\setminus\{\frac32\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{-2\}$ ; malejąca na $(-\infty;\frac32)$ i $(\frac32;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Miejsca zerowe wyznaczamy z licznika, a znaki z punktów podziału: zera licznika i zera mianownika.

Odpowiedź

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{2\}$ , $W_f=\mathbb R\setminus\{1\}$ , zero $x=-4$ ; $f(x)\ge0$ dla $x\in(-\infty;-4]\cup(2;\infty)$ .
b) $D_f=\mathbb R\setminus\{-6\}$ , $W_f=\mathbb R\setminus\{4\}$ , zero $x=-4$ ; $f(x)\ge0$ dla $x\in(-\infty;-6)\cup[-4;\infty)$ .
c) $D_f=\mathbb R\setminus\{-4\}$ , $W_f=\mathbb R\setminus\{-3\}$ , zero $x=-2$ ; $f(x)\ge0$ dla $x\in(-4;-2]$ .
d) $D_f=\mathbb R\setminus\{6\}$ , $W_f=\mathbb R\setminus\{4\}$ , zero $x=2$ ; $f(x)\ge0$ dla $x\in(-\infty;2]\cup(6;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Środek symetrii funkcji $\frac{ax+b}{cx+d}$ o niezerowym wyznaczniku ma współrzędne $(-\frac dc,\frac ac)$ .

Odpowiedź

a) $(\frac52,-2)$ ; b) $(-\frac32,\frac32)$ ; c) $(4,7)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw zapisujemy $f(x)=-1+\frac3{x+2}$ , a następnie wykonujemy wskazane podstawienia.

Odpowiedź

a) $g(x)=-\frac3{x+2}+1$ .
b) $g(x)=-\frac3{x-2}-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mamy $f(x)=\frac7{x-3}-4$ . Przesunięcia pionowe dodajemy do stałej, a w poziomych zmieniamy argument.

Odpowiedź

a) $g(x)=\frac7{x-3}+2$ ; b) $g(x)=\frac7{x+2}-4$ ; c) $g(x)=\frac7{x-12}-3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Funkcja $\frac{ax+b}{cx+d}$ jest homograficzna, gdy $c\neq0$ i $ad-bc\neq0$ . W przeciwnym razie jest liniowa albo po skróceniu stała.

Odpowiedź

a) Nie; jest liniowa. b) Nie; jest równa $-\frac12$ dla $x\neq5$ . c) Nie; jest równa $\frac16$ dla $x\neq-6$ . d) Tak.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem