MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 105 — rozwiązania zadań

Zadanie 20

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej:

f(x)=\frac{20}{x-\frac65}+\frac85.

Środkiem symetrii jest $S(\frac65,\frac85)$ , zatem

|OS|=\sqrt{\left(\frac65\right)^2+\left(\frac85\right)^2}=2.

Odpowiedź

Odległość wynosi $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 21

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Środek hiperboli leży w punkcie przecięcia jej osi symetrii. Rozwiązujemy układ

y=x+2,\qquad y=-x+8.

Otrzymujemy $2x=6$ , a więc $x=3$ i $y=5$ .

Odpowiedź

Asymptoty przecinają się w punkcie $(3,5)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 22

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przesunięcie poziome przenosi miejsce zerowe o pierwszą współrzędną wektora.

a) Funkcja $f$ ma miejsce zerowe $2$ , więc aby otrzymać $0$ , przesuwamy o $-2$ : $g(x)=f(x+2)$ .

b) Funkcja $f$ ma miejsce zerowe $-\frac12$ , więc aby otrzymać $\frac12$ , przesuwamy o $1$ : $g(x)=f(x-1)$ .

Odpowiedź

a) $\vec u=[-2,0]$ , $g(x)=\frac4{x+2}-2$ , $D_g=\mathbb R\setminus\{-2\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{-2\}$ .
b) $\vec u=[1,0]$ , $g(x)=\frac5{2(x-1)}+5$ , $D_g=\mathbb R\setminus\{1\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{5\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 23

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Środek wykresu $\frac A{x-p}+q$ to $(p,q)$ . Sprowadzamy mianowniki do postaci będącej wielokrotności $x-p$ .

Odpowiedź

a) $a=-2$ , $b=4$ ; b) $a=2$ , $b=0$ ; c) $a=9$ , $b=-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 24

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy argument wskazany w definicji funkcji $g$ i upraszczamy znak ułamka.

Odpowiedź

a) $g(x)=-\frac2{x+2}+1$ ;
b) $g(x)=-\frac2{x-2}-1$ ;
c) $g(x)=-\frac2{x+2}+3$ ;
d) $g(x)=-\frac2{x-4}-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 25

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Jeżeli wykres przechodzi przez $(0,0)$ , to $p\neq0$ i

0=f(0)=\frac a{-p}+q,

skąd $a=pq$ . Odwrotnie, jeżeli $a=pq$ , to z $a\neq0$ wynika $p\neq0$ , a

f(0)=-\frac{pq}{p}+q=0.

Obie implikacje zostały wykazane.

Odpowiedź

Wykres przechodzi przez początek układu wtedy i tylko wtedy, gdy $a=pq$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 26

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Oś $y=x+3$ przechodzi przez środek hiperboli, a punkty przecięcia położone na tej osi są symetryczne względem środka. Zatem środek jest środkiem odcinka $AB$ .

a) Otrzymujemy $S(-1,2)$ i postać $y=\frac a{x+1}+2$ . Podstawienie $A(-2,1)$ daje $a=1$ .

b) Otrzymujemy $S(0,3)$ i postać $y=\frac ax+3$ . Podstawienie $A(-3,0)$ daje $a=9$ .

Odpowiedź

a) $y=\frac1{x+1}+2$ , środek $(-1,2)$ .
b) $y=\frac9x+3$ , środek $(0,3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 27

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie podstawiamy postać $f(x)=\frac a{x-p}+q$ :

f(x+p)-q=\frac ax,\quad f(p-x)=-\frac ax+q,

q-f(x)=-\frac a{x-p},\quad q-f(p-x)=\frac ax.

Odpowiedź

a) $D_g=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{0\}$ .
b) $D_g=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{q\}$ .
c) $D_g=\mathbb R\setminus\{p\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{0\}$ .
d) $D_g=\mathbb R\setminus\{0\}$ , $W_g=\mathbb R\setminus\{0\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem