Cała strona · Zbiór zadań · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 104

temat „3.2. Przesunięcie wykresu funkcji $f(x)=\frac{a}{x}$ o wektor” · 7 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 13

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $x<3$ rysujemy lewą gałąź hiperboli $y=\frac{16}{x-3}+5$ z asymptotami $x=3$ , $y=5$ . Dla $x>3$ rysujemy prawą gałąź hiperboli $y=\frac2{x-3}-4$ z asymptotami $x=3$ , $y=-4$ . Pierwsza część ma zbiór wartości $(-\infty;5)$ , druga $(-4;\infty)$ .

Odpowiedź

Wykres składa się z opisanych dwóch gałęzi; $D_f=\mathbb R\setminus\{3\}$ i $W_f=\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Szukamy $g(x)=\frac{15}{x-p}+q$ . Warunki dla punktów dają

8=\frac{15}{3-p}+q,\qquad -8=\frac{15}{-13-p}+q.

Po odjęciu równań otrzymujemy $(3-p)(-13-p)=-15$ , czyli

p^2+10p-24=0.

Stąd $p=2$ lub $p=-12$ . Odpowiednie wartości $q$ to $-7$ i $7$ .

Odpowiedź

$\vec u=[2,-7]$ , $g(x)=\frac{15}{x-2}-7$ albo $\vec u=[-12,7]$ , $g(x)=\frac{15}{x+12}+7$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Złożenie przesunięć jest przesunięciem o sumę wektorów:

[-4,7]+[6,1]=[2,8].

Zatem $g(x)=f(x-2)+8=\frac{10}{x-2}+8$ . Przesunięcie odwrotne ma wektor przeciwny.

Odpowiedź

a) $g(x)=\frac{10}{x-2}+8$ .
b) $[-2,-8]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 16

3 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Na każdym ze składowych przedziałów dziedziny funkcja jest rosnąca. Wartości na końcach wynoszą

f(-8)=4,\quad f(-4)=6,\quad f(-1)=-3,\quad f(4)=2.

Stąd $W_f=[-3;2]\cup[4;6]$ . Równanie $f(x)=0$ daje $x=0$ .

Odpowiedź

a) $W_f=[-3;2]\cup[4;6]$ .
b) Miejsce zerowe: $x=0$ .
c) $\min f=-3$ dla $x=-1$ ; $\max f=6$ dla $x=-4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 17

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy każdy wzór do postaci $\frac a{x-p}+q$ ; asymptoty mają wtedy równania $x=p$ i $y=q$ .

Odpowiedź

a) $a=6$ , $p=-2$ , $q=0$ ; asymptoty $x=-2$ , $y=0$ .
b) $a=-3$ , $p=0$ , $q=2$ ; asymptoty $x=0$ , $y=2$ .
c) $a=\frac23$ , $p=2$ , $q=0$ ; asymptoty $x=2$ , $y=0$ .
d) $a=-2$ , $p=-\frac25$ , $q=6$ ; asymptoty $x=-\frac25$ , $y=6$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 18

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy środki symetrii wykresów. Po uproszczeniu c) ma postać $\frac3{x+4}-6$ , a d) postać $-\frac{2}{3(x-1)}+3$ .

Odpowiedź

a) $[2,7]$ ; b) $[-4,1]$ ; c) $[-4,-6]$ ; d) $[1,3]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 19

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru $g(x)=f(x-p)+q$ dla $\vec u=[p,q]$ i odczytujemy asymptoty z postaci kanonicznej.

Odpowiedź

a) $g(x)=\frac2{x+1}+5$ ; asymptoty $x=-1$ , $y=5$ .
b) $g(x)=2-\frac3{x-3}$ ; asymptoty $x=3$ , $y=2$ .
c) $g(x)=\frac{11}{x+5}-4$ ; asymptoty $x=-5$ , $y=-4$ .
d) $g(x)=\frac3{2(x+3)}-1$ ; asymptoty $x=-3$ , $y=-1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem