MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 103

Asymptoty wyznaczają postać

$$y=\frac a{x-2}+4.$$

Ponieważ wykres przechodzi przez $P(5,8)$,

$$8=\frac a3+4,$$

stąd $a=12$.

Z odczytanych na skanie asymptot otrzymujemy kolejno wektory $[0,-2]$, $[3,0]$ i $[-2,1]$.

a) $g(x)=\frac3{2x}-2$. Mamy $g(\frac92)=-\frac53$ oraz $g(\frac32)=-1$, zatem należy tylko $B$.

b) $g(x)=\frac3{2(x-3)}$. Mamy $g(\frac92)=1$ i $g(\frac32)=-1$, zatem należą oba punkty.

c) $g(x)=\frac3{2(x+2)}+1$. Mamy $g(\frac92)=\frac{16}{13}$ i $g(\frac32)=\frac{10}{7}$, zatem nie należy żaden z punktów.

Po przesunięciu o $[-3,1]$ funkcja ma postać

$$g(x)=\frac a{x+3}+1.$$

a) Warunek $g(3)=2$ daje $a=6$.

b) Warunek $g(-7)=0$ daje $a=4$.

W obu przypadkach $a>0$, zatem funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów wyznaczonych przez asymptotę $x=-3$.

Dla przesunięcia o $[p,q]$ zachodzi $g(x)=f(x-p)+q$.

a) $g(x)=f(x+2)+6=-\frac8{x+2}+6$.

b) $g(x)=f(x-2)-3=\frac4{x-5}-2$.

c) Porównanie z $\frac3{x-p}+q$ daje $p=-4$, $q=2$.

d) Z równości $g(x)=f(x+3)-5$ mamy $f(x)=g(x-3)+5$, czyli

$$f(x)=\frac{3{,}5}{2x-5}+4{,}5.$$