MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 102

Wykres $y=\frac ax+q$ ma asymptoty $x=0$ i $y=q$, a jego środkiem symetrii jest ich punkt przecięcia.

a) $f(x)=0$ daje $\frac{12}{x}=2$, więc $x=6$. Asymptoty to $x=0$, $y=-2$.

b) $f(x)=0$ daje $\frac{10}{x}=5$, więc $x=2$. Asymptoty to $x=0$, $y=5$.

Postać $\frac a{x-p}$ wskazuje asymptotę pionową $x=p$ i środek $(p,0)$. Dla $a>0$ funkcja jest malejąca na obu składowych dziedziny, a dla $a<0$ — rosnąca.

Przesunięcie pionowe zmienia wartość asymptoty poziomej, a zastąpienie $x$ przez $x-p$ przesuwa wykres o $p$ jednostek w prawo.

a) $g(x)=\frac2x-3$.
b) $g(x)=-\frac4x+1$.
c) $g(x)=\frac3{x+1}$.
d) $g(x)=-\frac8{x-2}$.

Dziedzinę i zbiór wartości wyznaczają asymptoty. Punkty przecięcia otrzymujemy, podstawiając odpowiednio $y=0$ i $x=0$.

a) $\frac6{x-2}+4=0$ daje $x=\frac12$, zaś $f(0)=1$.

b) $-\frac8{x+1}-2=0$ daje $x=-5$, zaś $f(0)=-10$.

Środek wykresu $\frac a{x-p}+q$ ma współrzędne $(p,q)$. Szukany wektor jest różnicą współrzędnych środka wykresu $g$ i środka wykresu $f$.

Przesunięcie o $[8,-2]$ daje

Dla $y=0$ otrzymujemy $x=18$, a dla $x=0$ mamy $g(0)=-\frac92$.

a) $g(x)=f(x-1)-2=\frac6{x-1}-2$. Współczynnik przy ułamku jest dodatni, więc funkcja jest malejąca po obu stronach asymptoty $x=1$.

b) $g(x)=f(x+4)+2=-\frac{12}{x+4}+2$. Współczynnik jest ujemny, więc funkcja jest rosnąca po obu stronach asymptoty $x=-4$.