MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 101

Gdyby punkt $(x,y)$ należał do obu wykresów, to $x\neq0$ oraz

$$\frac ax=y=\frac bx.$$

Po pomnożeniu przez $x$ dostalibyśmy $a=b$, wbrew założeniu. Hiperbole nie mają więc punktów wspólnych.

Punkt $(x,y)$ należy do hiperboli $y=\frac ax$ wtedy i tylko wtedy, gdy $xy=a$.

a) Porównujemy iloczyny współrzędnych:

$$m(m-3)=4(-2m),\qquad m(m+5)=0.$$

Wartość $m=0$ odpada, bo punkt $A$ miałby odciętą $0$. Zatem $m=-5$ i $a=40$.

b) Korzystamy z

$$(\sqrt3-\sqrt2)(3+\sqrt6)=\sqrt3.$$

Stąd

$$m\sqrt3=(\sqrt3-3m)\frac{\sqrt3}{3}=1-m\sqrt3,$$

czyli $m=\frac{\sqrt3}{6}$, a wspólny iloczyn wynosi $a=\frac12$.

W każdym podpunkcie porównujemy iloczyny współrzędnych punktów, bo są one równe współczynnikowi $a$.

a) $4b=3(b-1)$, więc $b=-3$ i $a=-12$. Na $\langle-4;-1\rangle$ funkcja $-\frac{12}{x}$ jest rosnąca: minimum to $3$ dla $x=-4$, maksimum to $12$ dla $x=-1$. Nierówność $-\frac{12}{x}<-3$ daje $x\in(0;4)$.

b) $-2b^2=4b$. Rozwiązanie $b=0$ jest niedopuszczalne, bo punkt $A$ miałby odciętą $0$, zatem $b=-2$ i $a=-8$. Minimum na podanym przedziale wynosi $2$ dla $x=-4$, maksimum $8$ dla $x=-1$, a $-\frac8x<-2$ dla $x\in(0;4)$.

c) $4b^2=(-2b)(b-6)$; po odrzuceniu $b=0$ otrzymujemy $b=2$ i $a=16$. Funkcja $\frac{16}{x}$ jest na tym przedziale malejąca, więc minimum to $-16$ dla $x=-1$, maksimum $-4$ dla $x=-4$. Warunek $\frac{16}{x}<2$ zachodzi dla $x\in(-\infty;0)\cup(8;\infty)$.

W punktach, w których obie współrzędne są równe, mamy

$$x=\frac ax,\qquad x^2=a.$$

Ponieważ $a>0$, są to punkty $P(\sqrt a,\sqrt a)$ i $Q(-\sqrt a,-\sqrt a)$. Zatem

$$|PQ|=\sqrt{(2\sqrt a)^2+(2\sqrt a)^2}=2\sqrt{2a}.$$

Niech $A=(x,y)$. Boki prostokąta równoległe do osi mają długości $|x|$ i $|y|$, więc

$$P=|x|\,|y|=|xy|.$$

Ponieważ $A$ leży na hiperboli, $xy=a$. Otrzymujemy $P=|a|$, niezależnie od położenia punktu $A$.

Niech $x_1,x_2$ będą pierwiastkami równania. Dwa różne pierwiastki istnieją, gdy

$$\Delta=36-4m>0,\quad\text{czyli }m<9,$$

a warunek ich niezerowości daje $m=x_1x_2\neq0$. Z wzorów Viète'a

$$F(m)=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac6m.$$

Zatem $D_F=(-\infty;0)\cup(0;9)$, a obraz tych dwóch przedziałów przez $6/m$ to odpowiednio $(-\infty;0)$ i $(\frac23;\infty)$.

Oznaczmy $c=2+\sqrt3$. Punkty $P=(c,1)$ i $Q=(1,c)$ leżą na hiperboli, bo iloczyn ich współrzędnych jest równy $c$. Ponadto

$$|OP|^2=|OQ|^2=c^2+1,\qquad |PQ|^2=2(c-1)^2.$$

Równość $c^2-4c+1=0$ zachodzi dla $c=2+\sqrt3$, więc wszystkie trzy boki mają tę samą długość.