MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 96

Z twierdzenia Pitagorasa $c^2=(4-\sqrt2)^2+(4+\sqrt2)^2=36,$ więc $c=6$.

Najdłuższy bok ma długość $17$. Gdyby trójkąt był prostokątny, musiałaby zachodzić równość $9^2+14^2=17^2$. Tymczasem $81+196=277\ne289$.

Jeśli oba dane boki są przyprostokątnymi, trzeci bok ma długość $\sqrt{45+75}=2\sqrt{30}$. Jeśli $5\sqrt3$ jest przeciwprostokątną, druga przyprostokątna ma długość $\sqrt{75-45}=\sqrt{30}$. Bok $3\sqrt5$ nie może być przeciwprostokątną, bo jest krótszy od $5\sqrt3$.

Pole trójkąta równobocznego wynosi $\frac{\sqrt3}{4}\cdot6^2=9\sqrt3$.

Niech przyprostokątne mają długości $x$ i $3x$. Przeciwprostokątna ma wtedy długość $x\sqrt{10}=3\sqrt{10}$, więc $x=3$. Pole jest równe $\frac12\cdot3\cdot9=13{,}5$.

Bok $BC=a$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$, więc w trójkącie $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ przeciwprostokątna ma długość $2a$, a druga przyprostokątna $a\sqrt3$.