MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 9

W każdym podpunkcie zrównujemy prawe strony równań.

a) (-x^2+5=2x+2), więc (x^2+2x-3=0), skąd (x=1) lub (x=-3). Po podstawieniu do prostej dostajemy punkty ((1,4)) i ((-3,-4)).

b) (\frac12x^2-x-6=2-x), zatem (\frac12x^2=8) i (x=\pm4). Odpowiadające wartości (y=2-x) to (-2) oraz (6).

c) Z drugiego równania (y=2x+1). Po podstawieniu: [ \frac12x^2+2x-1=2x+1, ] czyli (x^2=4). Dla (x=2) mamy (y=5), a dla (x=-2) mamy (y=-3).

Rozpatrujemy osobno znaki (x).

Dla (x\ge0): [ 2x^2-4x-3=2x+5\iff x^2-3x-4=0, ] więc (x=4) (pierwiastek (-1) nie spełnia założenia), a (y=13).

Dla (x<0): [ 2x^2-4x-3=-2x+5\iff x^2-x-4=0. ] Ujemnym pierwiastkiem jest (x=\frac{1-\sqrt{17}}2). Wtedy [ y=-2x+5=4+\sqrt{17}. ]

Prosta ma postać (y=11+\frac25x). Po zrównaniu jej z równaniem paraboli i pomnożeniu przez (15) dostajemy [ 5x^2+36x+75=0. ] Wyróżnik tego równania wynosi [ \Delta=36^2-4\cdot5\cdot75=1296-1500=-204<0. ] Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc wykresy nie mają punktów wspólnych.