MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 8

a) Podstawiamy (t=x^2\ge0): [ t^2-5t-36=0=(t-9)(t+4). ] Dopuszczalne jest tylko (t=9), więc (x=\pm3).

b) Niech (t=|x|\ge0). Wtedy (6t^2-t-1=0), skąd (t=\frac12) (drugi pierwiastek jest ujemny). Zatem (x=\pm\frac12).

c) Niech (t=\sqrt{x-1}\ge0), więc (x=t^2+1). Równanie przyjmuje postać [ t^2-7t+6=0, ] czyli (t=1) albo (t=6). Stąd odpowiednio (x=2) lub (x=37).

Skoro (1) jest miejscem zerowym, to [ 2+b+16=0, ] zatem (b=-18). Równanie ma postać [ 2x^4-18x^2+16=0. ] Po podzieleniu przez (2) i podstawieniu (t=x^2) otrzymujemy [ t^2-9t+8=(t-1)(t-8)=0. ] Stąd (x=\pm1) lub (x=\pm2\sqrt2). Poza podanym miejscem zerowym (1) pozostają trzy liczby.

Wielomian (P(x)=x^4+bx^2+c) zawiera wyłącznie parzyste potęgi, więc dla każdego (x) [ P(-x)=(-x)^4+b(-x)^2+c=P(x). ] Jeżeli zatem (P(-1)=0), to również (P(1)=0). Analogicznie z (P(2)=0) wynika (P(-2)=0).

Równanie jest równoważne (9x^4=4), czyli [ x^4=\frac49. ] Dla dodatniej prawej strony istnieją dwa rzeczywiste rozwiązania: (x=\pm\sqrt{\frac23}).