MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 10

Po zrównaniu równań parabol: [ \frac23x^2-1=-\frac13x^2+2x+2, ] otrzymujemy (x^2-2x-3=0), a więc (x=-1) lub (x=3). Dla pierwszej wartości (y=-\frac13), a dla drugiej (y=5). Graficznie rozwiązaniami układu są współrzędne dwóch punktów przecięcia parabol.

Punkty wspólne spełniają [ 4x^2-7x+2=-3x^2-2x+6, ] czyli (7x^2-5x-4=0). Wyróżnik wynosi (\Delta=25+112=137>0), więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Parabole mają dwa punkty wspólne.

Szukamy przecięć wykresów (|x^2-4|) oraz (x^2+c).

Gdy (|x|\ge2), mamy (|x^2-4|=x^2-4), więc przecięcie w tej części istnieje tylko dla (c=-4).

Gdy (|x|<2), mamy (|x^2-4|=4-x^2). Równanie [ 4-x^2=x^2+c ] daje (x^2=\frac{4-c}{2}). Warunek (0\le x^2<4) jest równoważny (-4<c\le4). Łącznie rozwiązanie istnieje dla (c\in[-4,4]), zatem nie istnieje poza tym przedziałem.

Każdą niepionową prostą przechodzącą przez ((-1,5)) można zapisać jako [ y=k(x+1)+5. ] Po zrównaniu z parabolą (y=-2x^2-3x+5) otrzymujemy [ 2x^2+(k+3)x+k=0. ] Jej wyróżnik: [ \Delta=(k+3)^2-8k=(k-1)^2+8>0, ] więc dla każdego (k) są nawet dwa punkty wspólne. Prosta pionowa (x=-1) również przecina parabolę, w punkcie ((-1,6)).