MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 7

a) (5x^2-2x=x(5x-2)). Iloczyn jest dodatni poza miejscami zerowymi (0) i (\frac25).

b) Po uproszczeniu: [ -x(2x-4)+2\ge0\iff -2x^2+4x+2\ge0. ] Miejsca zerowe to (1-\sqrt2) oraz (1+\sqrt2); parabola jest skierowana w dół, więc bierzemy przedział między nimi wraz z końcami.

c) Po rozwinięciu stron otrzymujemy [ -2x^2-2x-7>0. ] Lewa strona ma wyróżnik (4-56<0) i ujemny współczynnik przy (x^2), jest więc zawsze ujemna. Nierówność nie ma rozwiązań.

Ponieważ parabola ma ramiona w dół i jest nieujemna dokładnie na ([-3,5]), liczby (-3) i (5) są jej miejscami zerowymi. Przy współczynniku wiodącym (-1): [ f(x)=-(x+3)(x-5)=-x^2+2x+15. ] Porównanie współczynników daje (b=2) i (c=15).

Zbiór rozwiązań złożony z jednego punktu oznacza, że trójmian ma podwójne miejsce zerowe (x=3). Ponieważ współczynnik przy (x^2) wynosi (2), [ 2x^2+px+q=2(x-3)^2=2x^2-12x+18. ] Stąd (p=-12), (q=18).

Dziedziną ma być całe (\mathbb R), więc (x^2-m\ge0) dla każdego (x). Najmniejsza wartość (x^2) wynosi (0), zatem konieczne i wystarczające jest (-m\ge0), czyli (m\le0).