MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 63

Przekształcamy lewą stronę: $x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4=(xy-2)^2+2(x-y)^2.$ Pierwszy składnik jest nieujemny, a drugi jest dodatni, ponieważ $x\ne y$. Suma jest więc dodatnia.

Rozkładamy lewą stronę: $x^4+x^2-2x=x(x^3+x-2)=x(x-1)(x^2+x+2).$ Trójmian $x^2+x+2$ jest zawsze dodatni, bo jego wyróżnik wynosi $-7$. Pozostaje warunek $x(x-1)\geq0$.

Pierwszy czynnik ma rozkład $(x+1)(x^2+x+1),$ a więc jego jedynym rzeczywistym zerem jest $-1$. Drugi czynnik ma wyróżnik $1$ i pierwiastki $m$ oraz $m+1$. Rozważamy zatem liczby $-1,m,m+1$. Warunek średniej arytmetycznej daje kolejno $m=0$ (środkiem jest $m$) albo $m=-3$ (środkiem jest $m+1$). W obu przypadkach liczby są parami różne.

Podzielność przez $x-2$ daje $W(2)=4m(m-1)(m+1)=0,$ czyli $m\in\{-1,0,1\}$. Warunek reszty $W(-1)=6$ sprowadza się do $m^3-4m+3=0$; spośród kandydatów spełnia go tylko $m=1$. Wtedy $W(x)=2x^3+3x^2-11x-6=(x-2)(2x+1)(x+3).$ Tabela znaków dla trzech prostych czynników daje szukany zbiór.