MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 57

Objętość jest iloczynem długości krawędzi: $V(x)=(x+3)(x+5)(x+7)=x^3+15x^2+71x+105.$ Wszystkie wymiary są dodatnie wtedy, gdy $x>-3$. Dla $x=6$ mamy $V(6)=9\cdot11\cdot13=1287$.

Niech krótsza z porównywanych krawędzi ma długość $x$. Pozostałe mają wtedy długości $3x$ i $3x+8$. Z warunku objętości: $x\cdot3x(3x+8)=960.$ Dodatnim rozwiązaniem jest $x=4$, bo $4\cdot12\cdot20=960$.

Kolejne naturalne wielokrotności $3$ zapiszmy jako $3n,3(n+1),3(n+2)$. Równanie $27n(n+1)(n+2)=648$ daje $n(n+1)(n+2)=24$, stąd $n=2$. Czynniki to $6,9,12$.