MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 56

Sprawdzamy podane liczby. Dla $x=2$ lewa strona ma wartość $-2^5+2^3-2=-32+8-2=-26$, a zatem jest mniejsza od $-2$.

Czynnik $x^4+1$ jest dodatni dla każdego $x\in\mathbb R$, więc nierówność jest równoważna $2-x>0$, czyli $x<2$. Spośród podanych liczb warunku nie spełnia tylko $3$.

a) Miejsca zerowe czynników to $-3,-1,\frac32,3$. Wszystkie są jednokrotne, a znak iloczynu zmienia się przy każdym z nich. Otrzymujemy $(-\infty,-3]\cup[-1,\tfrac32]\cup[3,\infty).$

b) Mamy $(x-1)(x-3)(2x+5)^2<0$. Kwadrat jest dodatni poza swoim miejscem zerowym, zatem o znaku decyduje $(x-1)(x-3)$; jest on ujemny dla $1<x<3$.

c) Przenosimy wszystko na lewą stronę i rozkładamy:

Podpierwiastkowe wyrażenie musi być nieujemne: $(1-4x)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\geq0.$ Punkty krytyczne w kolejności to $-\sqrt3,\frac14,\sqrt3$. Analiza znaków iloczynu prowadzi do pierwszego i trzeciego z czterech wyznaczonych przedziałów.

Podane przedziały znaku wskazują cztery jednokrotne miejsca zerowe: $-2,1,3,5$. Zatem $w(x)=a_4(x+2)(x-1)(x-3)(x-5),\qquad a_4>0.$ Warunek $w(-1)=-4$ daje $-48a_4=-4$, więc $a_4=\frac1{12}$. Wyraz wolny wynosi $a_0=w(0)=\frac1{12}\cdot2\cdot(-1)\cdot(-3)\cdot(-5)=-\frac52.$