MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 53

Rozkładamy wszystkie czynniki na liniowe i sumujemy krotności powtarzających się czynników. a) $(x-2)^3(x+2)(x-1)(x^2+2x+4)$. b) Z czynników $(x+1)^3$, $1-x^2$ i $(3x+2)^2(x-1)^2$ odczytujemy podane krotności.

Wyłączamy wspólny czynnik $x^2-4$:

Pierwszy czynnik rozkłada się jako $(5x-1)(x+2)$. Aby jeden z tych pierwiastków miał łącznie krotność trzy, drugi trójmian musi być kwadratem odpowiedniego czynnika: $(x-\frac15)^2$ albo $(x+2)^2$.

Dwukrotny pierwiastek $3$ pozwala zapisać wielomian jako $(x-3)^2(2x^2+px+q)$. Porównanie współczynników daje $p=-5$, $q=2$, a po rozwinięciu współczynniki $a=-57$, $b=18$. Ponieważ $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$, pozostałe pierwiastki to $\frac12$ i $2$.