MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 49

Reszta z dzielenia przez wielomian kwadratowy ma postać $r(x)=ax+b$. Z danych $r(-2)=3$ i $r(3)=-2$ otrzymujemy układ $-2a+b=3$, $3a+b=-2$. Stąd $a=-1$, $b=1$.

Z twierdzenia Bézouta $W(-1)=0$. Mamy $W(-1)=-2-b-1=-b-3$, więc $b=-3$.

Reszta jest równa $w(-2)$. Wewnętrzny wielomian ma dla $x=-2$ wartość $2(-8)-7(-2)+1=-1$, zatem jego dwudziesta piąta potęga jest równa $-1$.

Z równości $w(x)=(x-\frac12)p(x)$ bezpośrednio wynikają A i C, a każdy pierwiastek $p$ zeruje też $w$, więc B jest prawdziwe. Gwarantowanym pierwiastkiem $w$ jest $\frac12$, nie $-\frac12$.