MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 40

Dodajemy i odejmujemy $x^2$: $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2$. Różnica kwadratów daje $(x^2-x+1)(x^2+x+1)$.

Zapisujemy wyrażenie jako $(x^2+4)^2-(2x)^2$. Po użyciu różnicy kwadratów otrzymujemy $(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$.

Grupowanie daje $(x^2-3)(4x^3+1)$. Pierwszy czynnik jest różnicą kwadratów, a drugi sumą sześcianów. Pełny rozkład nad liczbami rzeczywistymi to $(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(\sqrt[3]4x+1)(\sqrt[3]{16}x^2-\sqrt[3]4x+1)$.

Po przeniesieniu jednej strony i redukcji otrzymujemy $2(x^2-3)^2$. Kwadrat jest nieujemny, a mnożenie przez $2$ zachowuje znak, więc nierówność jest prawdziwa dla każdego rzeczywistego $x$.

Rozkład wielomianu ma postać $(x-2)^2(x+2)^3(x-1)$. Stąd odczytujemy wszystkie podzielności wymienione w A, B i C. Czynnik $x+1$ nie występuje, więc fałszywe jest zdanie D.