MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 38

Rozkładamy $n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)$. Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: jedna jest parzysta, a jedna podzielna przez $3$. Iloczyn jest więc podzielny przez $6$.

Po rozłożeniu otrzymujemy iloczyn $(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)$, czyli pięciu kolejnych liczb całkowitych. Jest on podzielny przez $5!=120$, a zatem w szczególności przez $60$.

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów: $8x^3-27=(2x)^3-3^3=(2x-3)(4x^2+6x+9)$. Jest to odpowiedź D.

Prawą stronę zapisujemy w postaci $\frac14n^2(n+1)^2=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$. Iloczyn dwóch kolejnych liczb jest parzysty, więc liczba w nawiasie jest całkowita. Wyrażenie jest zatem kwadratem liczby całkowitej.