MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 36

Rozkładamy różnicę kwadratów: $16x^4-1=(4x^2-1)(4x^2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1)$. Iloczyn $(2x+1)(4x^2+1)$ jest równy $8x^3+4x^2+2x+1$, więc otrzymujemy rozkład wskazany w odpowiedzi C.

Niech $t=\sqrt[3]3$. Ze wzoru na różnicę sześcianów $(2-t)(4+2t+t^2)=8-t^3=5$. Stąd szukany czynnik ma wartość $4+2\sqrt[3]3+\sqrt[3]9$.

Korzystamy z tożsamości $n^n-1=(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+\cdots+n+1)$. Zatem dla każdego naturalnego $n>1$ liczba $n^n-1$ jest podzielna przez $n-1$.

Oba składniki są podzielne przez $9$. Modulo $17$ mamy $12^8\equiv-1$, więc $12^{16}\equiv1$, oraz $9^4\equiv-1$, więc $9^8\equiv1$. Różnica jest zatem także podzielna przez $17$. Ponieważ $\gcd(9,17)=1$, jest podzielna przez $9\cdot17=153$.