MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 33

Podstawiamy $x=3$. Otrzymujemy $w(3)=13\cdot(-1)+13=0$. Z twierdzenia Bézouta wynika więc, że $3$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Podstawienie $x=-2$ daje $w(-2)=5\cdot2-8-2=0$. Zatem, zgodnie z twierdzeniem Bézouta, liczba $-2$ jest pierwiastkiem.

Wielomian $u$ ma zawsze stopień $3$. Jeśli $a\ne-1$, to wielomian $w$ ma stopień $5$, więc iloczyn ma stopień $8$. Dla $a=-1$ wyraz stopnia piątego znika, a $w$ ma stopień $2$; wówczas iloczyn ma stopień $5$.

Mnożymy podane czynniki, pilnując znaków, i redukujemy wyrazy podobne. Otrzymujemy kolejno składniki, których suma po uporządkowaniu jest równa $2x^4-6x^3-7x^2-8$.

Wyraz wolny iloczynu jest iloczynem wyrazów wolnych czynników. Dla $x=0$ mamy więc $w(0)=(-7)\cdot4=-28$.

Wyraz najwyższego stopnia powstaje z pomnożenia wyrazów najwyższych stopni czynników: $(-3x)\cdot x\cdot x^2=-3x^4$. Współczynnik przy najwyższej potędze jest zatem równy $-3$.