MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 29

Sprawdzamy współrzędne przez podstawienie do (w(x)=-2x^3-2x^2+6x+4): [ w(-4)=76\ne0, \qquad w\left(\frac12\right)=\frac{25}{4}\ne\frac54, \qquad w(\sqrt3)=-2. ] Zatem warunek (y=w(x)) spełnia wyłącznie punkt (C).

a) Warunek (w(1)=4) daje [ m-(2m+1)-m=4, ] stąd (m=-\frac52). Wówczas [ w(x)=-\frac52x^3+4x+\frac52. ]

b) Z warunku (w(-1)=0) otrzymujemy [ m^2-(m-1)+2m+4m=m^2+5m+1=0, ] czyli (m=\frac{-5\pm\sqrt{21}}2). Dla każdego z tych parametrów współczynniki odczytujemy bezpośrednio jako (a_4=m^2), (a_3=m-1), (a_2=2m), (a_1=0), (a_0=4m).

a) Współczynnik przy (x^3) znika tylko dla (|m|=3). Dla (m=3) współczynnik przy (x^2) jest równy (6), więc stopień wynosi (2). Dla (m=-3) znika także wyraz kwadratowy, ale współczynnik przy (x) wynosi (-6), więc stopień wynosi (1). W pozostałych przypadkach stopień wynosi (3).

b) Współczynnik wiodący (m(2m-1)) znika dla (m=0) lub (m=\frac12). Dla (m=\frac12) pozostaje niezerowy wyraz kwadratowy, a dla (m=0) pozostaje jedynie stała (1).

Współczynnik przy (x^5) ma postać ((m-1)(m-2)), więc może zniknąć tylko dla (m=1) albo (m=2). Dla (m=1) współczynnik przy (x^3) jest równy (-2), zatem stopień wynosi (3). Dla (m=2) znikają wyrazy stopnia piątego i trzeciego, a pozostaje [ w(x)=3x^2+3x+1. ] Wyrazu liniowego nie można wyzerować przez wybór parametru, więc stopień (2) jest najmniejszy możliwy.