MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 28

Wielomian może zawierać wyłącznie nieujemne całkowite potęgi zmiennej. Funkcje (f), (g) i stała funkcja (k) spełniają ten warunek. W funkcji (h(x)=-4x^2+\frac1x) występuje natomiast potęga (x^{-1}).

Współczynniki niewypisanych potęg są równe zeru, a (0) nie jest liczbą pierwszą. Odpadają więc A i D. W B współczynnik przy (x) jest równy (1), który także nie jest liczbą pierwszą. W wielomianie (101x+2) oba współczynniki, (101) i (2), są pierwsze.

a) Zaczynając od wyrazu wolnego, kolejne współczynniki są równe (-4,-2,0,2). Otrzymujemy [ f(x)=2x^3-2x-4. ]

b) Jeden z dwóch niezerowych składników musi mieć stopień trzeci. Drugi może mieć stopień (0), (1) albo (2), a współczynniki (2) i (-1) można przypisać do obu składników na dwa sposoby. Daje to (3\cdot2=6) dwumianów.

Po zebraniu wyrazów podobnych: [ w(x)=\frac43x^4+(8-2\sqrt3)x^3+x^2-4+\sqrt3. ] Dla (x=\sqrt3) mamy (x^2=3), (x^3=3\sqrt3) i (x^4=9), więc [ w(\sqrt3)=12+(24\sqrt3-18)+3-4+\sqrt3 =25\sqrt3-7. ]

Najpierw porządkujemy wielomian: [ w(x)=x^3+(2\sqrt5-3)x^2+(12-\sqrt5)x+1. ] Dla (x=3\sqrt5) zachodzi (x^2=45) i (x^3=135\sqrt5). Zatem [ \begin{aligned} w(3\sqrt5) &=135\sqrt5+45(2\sqrt5-3)+3\sqrt5(12-\sqrt5)+1\ &=261\sqrt5-149. \end{aligned} ]