MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 26

Wyróżnik równania jest równy [ \Delta=(-6m)^2-16(2m+3)(m-3)=4(m+6)^2. ] Dwa różne pierwiastki istnieją zatem dla (m\ne-6). Ponieważ (x_1<x_2), ich odległość wynosi [ x_2-x_1=\frac{\sqrt\Delta}{4}=\frac{|m+6|}{2}. ] Warunek z zadania można zapisać jako [ \bigl(4(x_1-x_2)\bigr)^2-1<0, ] czyli (x_2-x_1<\frac14). Stąd [ \frac{|m+6|}{2}<\frac14 \iff |m+6|<\frac12. ] Z otrzymanego przedziału trzeba wykluczyć (m=-6), dla którego pierwiastki się zlewają.

Ze wzorów Viète'a: [ p^2+q^2=x_1+x_2=10, \qquad p+q=x_1x_2=(5+\sqrt{23})(5-\sqrt{23})=2. ] Ponadto [ (p+q)^2=p^2+q^2+2pq, ] więc (4=10+2pq), czyli (pq=-3). Liczby (p) i (q) są zatem pierwiastkami równania [ t^2-2t-3=(t-3)(t+1)=0. ]