MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 25

Z warunku (y=x^2+x+1) wynika [ x+y=x+x^2+x+1=x^2+2x+1=(x+1)^2. ] Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc (x+y\ge0). Równość zachodzi dla (x=-1), wtedy (y=1).

Wyróżnik trójmianu wynosi [ \Delta=[2(m+1)]^2-4(6m+1)=4m(m-4). ] Dwa różne pierwiastki wymagają (m<0) lub (m>4). Ich iloczyn to (6m+1); aby miały ten sam znak, musi zachodzić (6m+1>0), czyli (m>-\frac16).

Dla trójmianu monicznego odległość pierwiastków wynosi (\sqrt\Delta). Warunek [ |x_1-x_2|<3 ] daje (4m(m-4)<9), czyli [ 4m^2-16m-9<0. ] Miejsca zerowe ostatniego trójmianu to (-\frac12) i (\frac92), zatem (-\frac12<m<\frac92). Część wspólna wszystkich trzech warunków jest równa [ \left(-\frac16,0\right)\cup\left(4,\frac92\right). ]