MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy — strona 24

a) Dla (n=20): [ P(20)=\frac{20\cdot17}{2}=170. ]

b) Warunek (P(n)=5n) daje [ \frac{n(n-3)}2=5n. ] Ponieważ (n\ge3), dzielimy przez (n): (n-3=10), więc (n=13).

c) Stwierdzenie jest fałszywe. Wystarczy kontrprzykład (n=6): [ P(6)=\frac{6\cdot3}{2}=9, ] czyli sześciokąt ma parzystą liczbę boków, lecz nieparzystą liczbę przekątnych.

Niech (a) oznacza krawędź podstawy, a (h) — wysokość graniastosłupa. Dwie sześciokątne podstawy dają łącznie (12) krawędzi długości (a), a krawędzi bocznych jest (6): [ 12a+6h=24,\qquad h=4-2a. ] Pole powierzchni bocznej: [ P_b=6ah=6a(4-2a)=-12a^2+24a. ] Parabola jest skierowana w dół, a jej wierzchołek przypada dla [ a=-\frac{24}{2(-12)}=1. ]